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Theorem 1arymaptf1o

Description: The mapping of unary (endo)functions is a one-to-one function onto the set of endofunctions. (Contributed by AV, 19-May-2024)

Ref Expression
Hypothesis 1arymaptfv.h
|- H = ( h e. ( 1 -aryF X ) |-> ( x e. X |-> ( h ` { <. 0 , x >. } ) ) )
Assertion 1arymaptf1o
|- ( X e. V -> H : ( 1 -aryF X ) -1-1-onto-> ( X ^m X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 1arymaptfv.h
 |-  H = ( h e. ( 1 -aryF X ) |-> ( x e. X |-> ( h ` { <. 0 , x >. } ) ) )
2 1 1arymaptf1
 |-  ( X e. V -> H : ( 1 -aryF X ) -1-1-> ( X ^m X ) )
3 1 1arymaptfo
 |-  ( X e. V -> H : ( 1 -aryF X ) -onto-> ( X ^m X ) )
4 df-f1o
 |-  ( H : ( 1 -aryF X ) -1-1-onto-> ( X ^m X ) <-> ( H : ( 1 -aryF X ) -1-1-> ( X ^m X ) /\ H : ( 1 -aryF X ) -onto-> ( X ^m X ) ) )
5 2 3 4 sylanbrc
 |-  ( X e. V -> H : ( 1 -aryF X ) -1-1-onto-> ( X ^m X ) )