Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2llnm.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
2llnm.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
2llnm.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
2llnm.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
simp1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL ) |
6 |
|
simp21 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A ) |
7 |
|
simp23 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R e. A ) |
8 |
|
simp22 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A ) |
9 |
1 2 4
|
4atlem0ae |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. Q .<_ ( P .\/ R ) ) |
10 |
1 2 3 4
|
2llnma1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ R e. A /\ Q e. A ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ R ) ) -> ( ( R .\/ P ) ./\ ( R .\/ Q ) ) = R ) |
11 |
5 6 7 8 9 10
|
syl131anc |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( R .\/ P ) ./\ ( R .\/ Q ) ) = R ) |