Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
atnlej.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
atnlej.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
atnlej.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
4 |
|
hllat |
|- ( K e. HL -> K e. Lat ) |
5 |
4
|
3ad2ant1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ -. P .<_ ( Q .\/ R ) ) -> K e. Lat ) |
6 |
|
simp21 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ -. P .<_ ( Q .\/ R ) ) -> P e. A ) |
7 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
8 |
7 3
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) ) |
9 |
6 8
|
syl |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ -. P .<_ ( Q .\/ R ) ) -> P e. ( Base ` K ) ) |
10 |
|
simp22 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ -. P .<_ ( Q .\/ R ) ) -> Q e. A ) |
11 |
7 3
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) ) |
12 |
10 11
|
syl |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ -. P .<_ ( Q .\/ R ) ) -> Q e. ( Base ` K ) ) |
13 |
|
simp23 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ -. P .<_ ( Q .\/ R ) ) -> R e. A ) |
14 |
7 3
|
atbase |
|- ( R e. A -> R e. ( Base ` K ) ) |
15 |
13 14
|
syl |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ -. P .<_ ( Q .\/ R ) ) -> R e. ( Base ` K ) ) |
16 |
|
simp3 |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ -. P .<_ ( Q .\/ R ) ) -> -. P .<_ ( Q .\/ R ) ) |
17 |
7 1 2
|
latnlej1l |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ Q e. ( Base ` K ) /\ R e. ( Base ` K ) ) /\ -. P .<_ ( Q .\/ R ) ) -> P =/= Q ) |
18 |
5 9 12 15 16 17
|
syl131anc |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ -. P .<_ ( Q .\/ R ) ) -> P =/= Q ) |