Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
idn1 |
|- (. A. x x = y ->. A. x x = y ). |
2 |
|
ax6ev |
|- E. x x = u |
3 |
|
hba1 |
|- ( A. x x = y -> A. x A. x x = y ) |
4 |
|
sp |
|- ( A. x A. x x = y -> A. x x = y ) |
5 |
3 4
|
impbii |
|- ( A. x x = y <-> A. x A. x x = y ) |
6 |
|
idn2 |
|- (. A. x x = y ,. x = u ->. x = u ). |
7 |
|
sp |
|- ( A. x x = y -> x = y ) |
8 |
1 7
|
e1a |
|- (. A. x x = y ->. x = y ). |
9 |
|
ax7 |
|- ( x = y -> ( x = u -> y = u ) ) |
10 |
9
|
com12 |
|- ( x = u -> ( x = y -> y = u ) ) |
11 |
6 8 10
|
e21 |
|- (. A. x x = y ,. x = u ->. y = u ). |
12 |
|
pm3.2 |
|- ( x = u -> ( y = u -> ( x = u /\ y = u ) ) ) |
13 |
6 11 12
|
e22 |
|- (. A. x x = y ,. x = u ->. ( x = u /\ y = u ) ). |
14 |
13
|
in2 |
|- (. A. x x = y ->. ( x = u -> ( x = u /\ y = u ) ) ). |
15 |
14
|
in1 |
|- ( A. x x = y -> ( x = u -> ( x = u /\ y = u ) ) ) |
16 |
15
|
alimi |
|- ( A. x A. x x = y -> A. x ( x = u -> ( x = u /\ y = u ) ) ) |
17 |
5 16
|
sylbi |
|- ( A. x x = y -> A. x ( x = u -> ( x = u /\ y = u ) ) ) |
18 |
1 17
|
e1a |
|- (. A. x x = y ->. A. x ( x = u -> ( x = u /\ y = u ) ) ). |
19 |
|
exim |
|- ( A. x ( x = u -> ( x = u /\ y = u ) ) -> ( E. x x = u -> E. x ( x = u /\ y = u ) ) ) |
20 |
18 19
|
e1a |
|- (. A. x x = y ->. ( E. x x = u -> E. x ( x = u /\ y = u ) ) ). |
21 |
|
pm2.27 |
|- ( E. x x = u -> ( ( E. x x = u -> E. x ( x = u /\ y = u ) ) -> E. x ( x = u /\ y = u ) ) ) |
22 |
2 20 21
|
e01 |
|- (. A. x x = y ->. E. x ( x = u /\ y = u ) ). |
23 |
22
|
in1 |
|- ( A. x x = y -> E. x ( x = u /\ y = u ) ) |
24 |
23
|
axc4i |
|- ( A. x x = y -> A. x E. x ( x = u /\ y = u ) ) |
25 |
1 24
|
e1a |
|- (. A. x x = y ->. A. x E. x ( x = u /\ y = u ) ). |
26 |
|
axc11 |
|- ( A. x x = y -> ( A. x E. x ( x = u /\ y = u ) -> A. y E. x ( x = u /\ y = u ) ) ) |
27 |
1 25 26
|
e11 |
|- (. A. x x = y ->. A. y E. x ( x = u /\ y = u ) ). |
28 |
|
19.2 |
|- ( A. y E. x ( x = u /\ y = u ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = u ) ) |
29 |
27 28
|
e1a |
|- (. A. x x = y ->. E. y E. x ( x = u /\ y = u ) ). |
30 |
|
excomim |
|- ( E. y E. x ( x = u /\ y = u ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = u ) ) |
31 |
29 30
|
e1a |
|- (. A. x x = y ->. E. x E. y ( x = u /\ y = u ) ). |
32 |
|
idn1 |
|- (. u = v ->. u = v ). |
33 |
|
idn2 |
|- (. u = v ,. ( x = u /\ y = u ) ->. ( x = u /\ y = u ) ). |
34 |
|
simpr |
|- ( ( x = u /\ y = u ) -> y = u ) |
35 |
33 34
|
e2 |
|- (. u = v ,. ( x = u /\ y = u ) ->. y = u ). |
36 |
|
equtrr |
|- ( u = v -> ( y = u -> y = v ) ) |
37 |
32 35 36
|
e12 |
|- (. u = v ,. ( x = u /\ y = u ) ->. y = v ). |
38 |
|
simpl |
|- ( ( x = u /\ y = u ) -> x = u ) |
39 |
33 38
|
e2 |
|- (. u = v ,. ( x = u /\ y = u ) ->. x = u ). |
40 |
|
pm3.21 |
|- ( y = v -> ( x = u -> ( x = u /\ y = v ) ) ) |
41 |
37 39 40
|
e22 |
|- (. u = v ,. ( x = u /\ y = u ) ->. ( x = u /\ y = v ) ). |
42 |
41
|
in2 |
|- (. u = v ->. ( ( x = u /\ y = u ) -> ( x = u /\ y = v ) ) ). |
43 |
42
|
gen11 |
|- (. u = v ->. A. y ( ( x = u /\ y = u ) -> ( x = u /\ y = v ) ) ). |
44 |
|
exim |
|- ( A. y ( ( x = u /\ y = u ) -> ( x = u /\ y = v ) ) -> ( E. y ( x = u /\ y = u ) -> E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) |
45 |
43 44
|
e1a |
|- (. u = v ->. ( E. y ( x = u /\ y = u ) -> E. y ( x = u /\ y = v ) ) ). |
46 |
45
|
gen11 |
|- (. u = v ->. A. x ( E. y ( x = u /\ y = u ) -> E. y ( x = u /\ y = v ) ) ). |
47 |
|
exim |
|- ( A. x ( E. y ( x = u /\ y = u ) -> E. y ( x = u /\ y = v ) ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = u ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) |
48 |
46 47
|
e1a |
|- (. u = v ->. ( E. x E. y ( x = u /\ y = u ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ). |
49 |
48
|
in1 |
|- ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = u ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) |
50 |
|
pm2.04 |
|- ( ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = u ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = u ) -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) ) |
51 |
50
|
com12 |
|- ( E. x E. y ( x = u /\ y = u ) -> ( ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = u ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) ) |
52 |
31 49 51
|
e10 |
|- (. A. x x = y ->. ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ). |
53 |
52
|
in1 |
|- ( A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) |