Theorem axacndlem1

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. Usage of this theorem is discouraged because it depends on ax-13 . (Contributed by NM, 3-Jan-2002) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	axacndlem1	|- ( A. x x = y -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfae	|- F/ y A. x x = y
2		nfae	|- F/ z A. x x = y
3		simpl	|- ( ( y e. z /\ z e. w ) -> y e. z )
4	3	alimi	|- ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> A. x y e. z )
5		nd1	|- ( A. x x = y -> -. A. x y e. z )
6	5	pm2.21d	|- ( A. x x = y -> ( A. x y e. z -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
7	4 6	syl5	|- ( A. x x = y -> ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
8	2 7	alrimi	|- ( A. x x = y -> A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
9	1 8	alrimi	|- ( A. x x = y -> A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
10	9	19.8ad	|- ( A. x x = y -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )