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Theorem ballotlemsval

Description: Value of S . (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2017)

Ref Expression
Hypotheses ballotth.m 
|- M e. NN
ballotth.n 
|- N e. NN
ballotth.o 
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p 
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f 
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e 
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn 
|- N < M
ballotth.i 
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s 
|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
Assertion ballotlemsval 
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) = ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ballotth.m 
 |-  M e. NN
2 ballotth.n 
 |-  N e. NN
3 ballotth.o 
 |-  O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p 
 |-  P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f 
 |-  F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotth.e 
 |-  E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7 ballotth.mgtn 
 |-  N < M
8 ballotth.i 
 |-  I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9 ballotth.s 
 |-  S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10 simpl 
 |-  ( ( d = C /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> d = C )
11 10 fveq2d 
 |-  ( ( d = C /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( I ` d ) = ( I ` C ) )
12 11 breq2d 
 |-  ( ( d = C /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( i <_ ( I ` d ) <-> i <_ ( I ` C ) ) )
13 11 oveq1d 
 |-  ( ( d = C /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( I ` d ) + 1 ) = ( ( I ` C ) + 1 ) )
14 13 oveq1d 
 |-  ( ( d = C /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( ( I ` d ) + 1 ) - i ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) )
15 12 14 ifbieq1d 
 |-  ( ( d = C /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( i <_ ( I ` d ) , ( ( ( I ` d ) + 1 ) - i ) , i ) = if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) )
16 15 mpteq2dva 
 |-  ( d = C -> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` d ) , ( ( ( I ` d ) + 1 ) - i ) , i ) ) = ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
17 simpl 
 |-  ( ( c = d /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> c = d )
18 17 fveq2d 
 |-  ( ( c = d /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( I ` c ) = ( I ` d ) )
19 18 breq2d 
 |-  ( ( c = d /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( i <_ ( I ` c ) <-> i <_ ( I ` d ) ) )
20 18 oveq1d 
 |-  ( ( c = d /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( I ` c ) + 1 ) = ( ( I ` d ) + 1 ) )
21 20 oveq1d 
 |-  ( ( c = d /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) = ( ( ( I ` d ) + 1 ) - i ) )
22 19 21 ifbieq1d 
 |-  ( ( c = d /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) = if ( i <_ ( I ` d ) , ( ( ( I ` d ) + 1 ) - i ) , i ) )
23 22 mpteq2dva 
 |-  ( c = d -> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) = ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` d ) , ( ( ( I ` d ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
24 23 cbvmptv 
 |-  ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) ) = ( d e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` d ) , ( ( ( I ` d ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
25 9 24 eqtri 
 |-  S = ( d e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` d ) , ( ( ( I ` d ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
26 ovex 
 |-  ( 1 ... ( M + N ) ) e. _V
27 26 mptex 
 |-  ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) e. _V
28 16 25 27 fvmpt 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) = ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) )