Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ballotth.m |
|- M e. NN |
2 |
|
ballotth.n |
|- N e. NN |
3 |
|
ballotth.o |
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M } |
4 |
|
ballotth.p |
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) ) |
5 |
|
ballotth.f |
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) ) |
6 |
|
ballotth.e |
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) } |
7 |
|
ballotth.mgtn |
|- N < M |
8 |
|
ballotth.i |
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) |
9 |
|
ballotth.s |
|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) ) |
10 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
ballotlemsval |
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) = ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) ) |
11 |
|
breq1 |
|- ( i = j -> ( i <_ ( I ` C ) <-> j <_ ( I ` C ) ) ) |
12 |
|
oveq2 |
|- ( i = j -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) ) |
13 |
|
id |
|- ( i = j -> i = j ) |
14 |
11 12 13
|
ifbieq12d |
|- ( i = j -> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) |
15 |
14
|
cbvmptv |
|- ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - i ) , i ) ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) |
16 |
10 15
|
eqtrdi |
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( S ` C ) = ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) ) ) |
18 |
|
simpr |
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ j = J ) -> j = J ) |
19 |
18
|
breq1d |
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ j = J ) -> ( j <_ ( I ` C ) <-> J <_ ( I ` C ) ) ) |
20 |
18
|
oveq2d |
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ j = J ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ) |
21 |
19 20 18
|
ifbieq12d |
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ j = J ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) ) |
22 |
21
|
adantlr |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ j = J ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) ) |
23 |
|
simpr |
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) |
24 |
|
ovexd |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ J <_ ( I ` C ) ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) e. _V ) |
25 |
|
elex |
|- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> J e. _V ) |
26 |
25
|
ad2antlr |
|- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ -. J <_ ( I ` C ) ) -> J e. _V ) |
27 |
24 26
|
ifclda |
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) e. _V ) |
28 |
17 22 23 27
|
fvmptd |
|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) ) |