Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cau3.1 |
|- Z = ( ZZ>= ` M ) |
2 |
|
cau4.2 |
|- W = ( ZZ>= ` N ) |
3 |
|
eluzel2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ ) |
4 |
1
|
rexuz3 |
|- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) ) |
5 |
3 4
|
syl |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) ) |
6 |
|
eluzelz |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ ) |
7 |
2
|
rexuz3 |
|- ( N e. ZZ -> ( E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) ) |
9 |
5 8
|
bitr4d |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) ) |
10 |
9 1
|
eleq2s |
|- ( N e. Z -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) ) |
11 |
10
|
ralbidv |
|- ( N e. Z -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) ) |
12 |
1
|
cau3 |
|- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) |
13 |
2
|
cau3 |
|- ( A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. y e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` y ) ) ) < x ) ) |
14 |
11 12 13
|
3bitr4g |
|- ( N e. Z -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. W A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) ) |