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Theorem caubnd2

Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014)

Ref Expression
Hypothesis cau3.1
|- Z = ( ZZ>= ` M )
Assertion caubnd2
|- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cau3.1
 |-  Z = ( ZZ>= ` M )
2 1rp
 |-  1 e. RR+
3 breq2
 |-  ( x = 1 -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
4 3 anbi2d
 |-  ( x = 1 -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
5 4 rexralbidv
 |-  ( x = 1 -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
6 5 rspcv
 |-  ( 1 e. RR+ -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
7 2 6 ax-mp
 |-  ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
8 eluzelz
 |-  ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
9 8 1 eleq2s
 |-  ( j e. Z -> j e. ZZ )
10 uzid
 |-  ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
11 9 10 syl
 |-  ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
12 simpl
 |-  ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( F ` k ) e. CC )
13 12 ralimi
 |-  ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. CC )
14 fveq2
 |-  ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
15 14 eleq1d
 |-  ( k = j -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` j ) e. CC ) )
16 15 rspcva
 |-  ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` j ) e. CC )
17 11 13 16 syl2an
 |-  ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
18 abscl
 |-  ( ( F ` j ) e. CC -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
19 17 18 syl
 |-  ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
20 1re
 |-  1 e. RR
21 readdcl
 |-  ( ( ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR )
22 19 20 21 sylancl
 |-  ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR )
23 simpr
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` k ) e. CC )
24 simplr
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` j ) e. CC )
25 abs2dif
 |-  ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
26 23 24 25 syl2anc
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
27 abscl
 |-  ( ( F ` k ) e. CC -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
28 23 27 syl
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
29 24 18 syl
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
30 28 29 resubcld
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR )
31 23 24 subcld
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC )
32 abscl
 |-  ( ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR )
33 31 32 syl
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR )
34 lelttr
 |-  ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
35 20 34 mp3an3
 |-  ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
36 30 33 35 syl2anc
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
37 26 36 mpand
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
38 ltsubadd2
 |-  ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
39 20 38 mp3an3
 |-  ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
40 28 29 39 syl2anc
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
41 37 40 sylibd
 |-  ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
42 41 expimpd
 |-  ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
43 42 ralimdv
 |-  ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
44 43 impancom
 |-  ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
45 17 44 mpd
 |-  ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) )
46 brralrspcev
 |-  ( ( ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
47 22 45 46 syl2anc
 |-  ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
48 47 ex
 |-  ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) )
49 48 reximia
 |-  ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. j e. Z E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
50 rexcom
 |-  ( E. j e. Z E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y <-> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
51 49 50 sylib
 |-  ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
52 7 51 syl
 |-  ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )