Theorem rexcom

Description: Commutation of restricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 19-Nov-1995) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016) (Proof shortened by BJ, 26-Aug-2023)

	Ref	Expression
Assertion	rexcom	|- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. y e. B E. x e. A ph )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex	|- ( E. y e. B ph <-> E. y ( y e. B /\ ph ) )
2	1	rexbii	|- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) )
3		rexcom4	|- ( E. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ ph ) )
4		r19.42v	|- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
5	4	exbii	|- ( E. y E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> E. y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
6		df-rex	|- ( E. y e. B E. x e. A ph <-> E. y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
7	5 6	bitr4i	|- ( E. y E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> E. y e. B E. x e. A ph )
8	2 3 7	3bitri	|- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. y e. B E. x e. A ph )