Theorem ralcom

Description: Commutation of restricted universal quantifiers. See ralcom2 for a version without disjoint variable condition on x , y . This theorem should be used in place of ralcom2 since it depends on a smaller set of axioms. (Contributed by NM, 13-Oct-1999) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016)

	Ref	Expression
Assertion	ralcom	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancomst	|- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
2	1	2albii	|- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
3		alcom	|- ( A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
4	2 3	bitri	|- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
5		r2al	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )
6		r2al	|- ( A. y e. B A. x e. A ph <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
7	4 5 6	3bitr4i	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )