Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cau3.1 |
|- Z = ( ZZ>= ` M ) |
2 |
|
abscl |
|- ( ( F ` k ) e. CC -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) |
3 |
2
|
ralimi |
|- ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC -> A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) |
4 |
1
|
r19.29uz |
|- ( ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) |
5 |
4
|
ex |
|- ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) ) |
6 |
5
|
ralimdv |
|- ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) ) |
7 |
1
|
caubnd2 |
|- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. z e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) |
8 |
6 7
|
syl6 |
|- ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> E. z e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) |
9 |
|
fzssuz |
|- ( M ... j ) C_ ( ZZ>= ` M ) |
10 |
9 1
|
sseqtrri |
|- ( M ... j ) C_ Z |
11 |
|
ssralv |
|- ( ( M ... j ) C_ Z -> ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) ) |
12 |
10 11
|
ax-mp |
|- ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) |
13 |
|
fzfi |
|- ( M ... j ) e. Fin |
14 |
|
fimaxre3 |
|- ( ( ( M ... j ) e. Fin /\ A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> E. x e. RR A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) |
15 |
13 14
|
mpan |
|- ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> E. x e. RR A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) |
16 |
|
peano2re |
|- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( x + 1 ) e. RR ) |
18 |
|
ltp1 |
|- ( x e. RR -> x < ( x + 1 ) ) |
19 |
18
|
adantl |
|- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> x < ( x + 1 ) ) |
20 |
16
|
adantl |
|- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( x + 1 ) e. RR ) |
21 |
|
lelttr |
|- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ x e. RR /\ ( x + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x /\ x < ( x + 1 ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( x + 1 ) ) ) |
22 |
20 21
|
mpd3an3 |
|- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x /\ x < ( x + 1 ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( x + 1 ) ) ) |
23 |
19 22
|
mpan2d |
|- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( x + 1 ) ) ) |
24 |
23
|
expcom |
|- ( x e. RR -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( x + 1 ) ) ) ) |
25 |
24
|
ralimdv |
|- ( x e. RR -> ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> A. k e. ( M ... j ) ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( x + 1 ) ) ) ) |
26 |
25
|
impcom |
|- ( ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> A. k e. ( M ... j ) ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( x + 1 ) ) ) |
27 |
|
ralim |
|- ( A. k e. ( M ... j ) ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( x + 1 ) ) -> ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x -> A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( x + 1 ) ) ) |
28 |
26 27
|
syl |
|- ( ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x -> A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( x + 1 ) ) ) |
29 |
|
brralrspcev |
|- ( ( ( x + 1 ) e. RR /\ A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( x + 1 ) ) -> E. w e. RR A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) |
30 |
17 28 29
|
syl6an |
|- ( ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x -> E. w e. RR A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) ) |
31 |
30
|
rexlimdva |
|- ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( E. x e. RR A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x -> E. w e. RR A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) ) |
32 |
15 31
|
mpd |
|- ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> E. w e. RR A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) |
33 |
12 32
|
syl |
|- ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> E. w e. RR A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) |
34 |
|
max1 |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> w <_ if ( w <_ z , z , w ) ) |
35 |
34
|
3adant3 |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> w <_ if ( w <_ z , z , w ) ) |
36 |
|
simp3 |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) |
37 |
|
simp1 |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> w e. RR ) |
38 |
|
ifcl |
|- ( ( z e. RR /\ w e. RR ) -> if ( w <_ z , z , w ) e. RR ) |
39 |
38
|
ancoms |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> if ( w <_ z , z , w ) e. RR ) |
40 |
39
|
3adant3 |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> if ( w <_ z , z , w ) e. RR ) |
41 |
|
ltletr |
|- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ w e. RR /\ if ( w <_ z , z , w ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w /\ w <_ if ( w <_ z , z , w ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) ) |
42 |
36 37 40 41
|
syl3anc |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w /\ w <_ if ( w <_ z , z , w ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) ) |
43 |
35 42
|
mpan2d |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w -> ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) ) |
44 |
|
max2 |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> z <_ if ( w <_ z , z , w ) ) |
45 |
44
|
3adant3 |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> z <_ if ( w <_ z , z , w ) ) |
46 |
|
simp2 |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> z e. RR ) |
47 |
|
ltletr |
|- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ z e. RR /\ if ( w <_ z , z , w ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) < z /\ z <_ if ( w <_ z , z , w ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) ) |
48 |
36 46 40 47
|
syl3anc |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) < z /\ z <_ if ( w <_ z , z , w ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) ) |
49 |
45 48
|
mpan2d |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) < z -> ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) ) |
50 |
43 49
|
jaod |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) ) |
51 |
50
|
3expia |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) ) ) |
52 |
51
|
ralimdv |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> A. k e. Z ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) ) ) |
53 |
|
ralim |
|- ( A. k e. Z ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) -> ( A. k e. Z ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) ) |
54 |
52 53
|
syl6 |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( A. k e. Z ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) ) ) |
55 |
|
brralrspcev |
|- ( ( if ( w <_ z , z , w ) e. RR /\ A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) ) -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) |
56 |
55
|
ex |
|- ( if ( w <_ z , z , w ) e. RR -> ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) |
57 |
39 56
|
syl |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < if ( w <_ z , z , w ) -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) |
58 |
54 57
|
syl6d |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( A. k e. Z ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) ) |
59 |
|
uzssz |
|- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ |
60 |
1 59
|
eqsstri |
|- Z C_ ZZ |
61 |
60
|
sseli |
|- ( k e. Z -> k e. ZZ ) |
62 |
60
|
sseli |
|- ( j e. Z -> j e. ZZ ) |
63 |
|
uztric |
|- ( ( k e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( j e. ( ZZ>= ` k ) \/ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) |
64 |
61 62 63
|
syl2anr |
|- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> ( j e. ( ZZ>= ` k ) \/ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) |
65 |
|
simpr |
|- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> k e. Z ) |
66 |
65 1
|
eleqtrdi |
|- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) |
67 |
|
elfzuzb |
|- ( k e. ( M ... j ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) |
68 |
67
|
baib |
|- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( M ... j ) <-> j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) |
69 |
66 68
|
syl |
|- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> ( k e. ( M ... j ) <-> j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) |
70 |
69
|
orbi1d |
|- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> ( ( k e. ( M ... j ) \/ k e. ( ZZ>= ` j ) ) <-> ( j e. ( ZZ>= ` k ) \/ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) ) |
71 |
64 70
|
mpbird |
|- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> ( k e. ( M ... j ) \/ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) |
72 |
71
|
ex |
|- ( j e. Z -> ( k e. Z -> ( k e. ( M ... j ) \/ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) ) |
73 |
|
pm3.48 |
|- ( ( ( k e. ( M ... j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) -> ( ( k e. ( M ... j ) \/ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) ) |
74 |
72 73
|
syl9 |
|- ( j e. Z -> ( ( ( k e. ( M ... j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) -> ( k e. Z -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) ) ) |
75 |
74
|
alimdv |
|- ( j e. Z -> ( A. k ( ( k e. ( M ... j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) -> A. k ( k e. Z -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) ) ) |
76 |
|
df-ral |
|- ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w <-> A. k ( k e. ( M ... j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) ) |
77 |
|
df-ral |
|- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z <-> A. k ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) |
78 |
76 77
|
anbi12i |
|- ( ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) <-> ( A. k ( k e. ( M ... j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) /\ A. k ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) ) |
79 |
|
19.26 |
|- ( A. k ( ( k e. ( M ... j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) <-> ( A. k ( k e. ( M ... j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) /\ A. k ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) ) |
80 |
78 79
|
bitr4i |
|- ( ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) <-> A. k ( ( k e. ( M ... j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < w ) /\ ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) ) |
81 |
|
df-ral |
|- ( A. k e. Z ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) <-> A. k ( k e. Z -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) ) |
82 |
75 80 81
|
3imtr4g |
|- ( j e. Z -> ( ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> A. k e. Z ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) ) |
83 |
82
|
3impib |
|- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> A. k e. Z ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) ) |
84 |
83
|
imim1i |
|- ( ( A. k e. Z ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) -> ( ( j e. Z /\ A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) |
85 |
84
|
3expd |
|- ( ( A. k e. Z ( ( abs ` ( F ` k ) ) < w \/ ( abs ` ( F ` k ) ) < z ) -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) -> ( j e. Z -> ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) ) ) |
86 |
58 85
|
syl6 |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( j e. Z -> ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) ) ) ) |
87 |
86
|
com23 |
|- ( ( w e. RR /\ z e. RR ) -> ( j e. Z -> ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) ) ) ) |
88 |
87
|
expimpd |
|- ( w e. RR -> ( ( z e. RR /\ j e. Z ) -> ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) ) ) ) |
89 |
88
|
com3r |
|- ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( w e. RR -> ( ( z e. RR /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) ) ) ) |
90 |
89
|
com34 |
|- ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( w e. RR -> ( A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w -> ( ( z e. RR /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) ) ) ) |
91 |
90
|
rexlimdv |
|- ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( E. w e. RR A. k e. ( M ... j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < w -> ( ( z e. RR /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) ) ) |
92 |
33 91
|
mpd |
|- ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( ( z e. RR /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) ) |
93 |
92
|
rexlimdvv |
|- ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR -> ( E. z e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < z -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) |
94 |
3 8 93
|
sylsyld |
|- ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) ) |
95 |
94
|
imp |
|- ( ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. y e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) |