Theorem cvmcn

Description: A covering map is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015)

	Ref	Expression
Assertion	cvmcn	|- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid	|- ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C |`t u ) Homeo ( J |`t k ) ) ) ) } ) = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C |`t u ) Homeo ( J |`t k ) ) ) ) } )
2		eqid	|- U. J = U. J
3	1 2	iscvm	|- ( F e. ( C CovMap J ) <-> ( ( C e. Top /\ J e. Top /\ F e. ( C Cn J ) ) /\ A. x e. U. J E. k e. J ( x e. k /\ ( ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C |`t u ) Homeo ( J |`t k ) ) ) ) } ) ` k ) =/= (/) ) ) )
4	3	simplbi	|- ( F e. ( C CovMap J ) -> ( C e. Top /\ J e. Top /\ F e. ( C Cn J ) ) )
5	4	simp3d	|- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )