Metamath Proof Explorer

Theorem dalemeea

Description: Lemma for dath . Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 11-Aug-2012)

		Ref	Expression
	Hypotheses	dalema.ph	\|- ( ph <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) )
		dalemc.l	\|- .<_ = ( le ` K )
		dalemc.j	\|- .\/ = ( join ` K )
		dalemc.a	\|- A = ( Atoms ` K )
		dalemeea.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
		dalemeea.o	\|- O = ( LPlanes ` K )
		dalemeea.y	\|- Y = ( ( P .\/ Q ) .\/ R )
		dalemeea.z	\|- Z = ( ( S .\/ T ) .\/ U )
		dalemeea.e	\|- E = ( ( Q .\/ R ) ./\ ( T .\/ U ) )
	Assertion	dalemeea	\|- ( ph -> E e. A )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	\|- ( ph <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) )
2		dalemc.l	\|- .<_ = ( le ` K )
3		dalemc.j	\|- .\/ = ( join ` K )
4		dalemc.a	\|- A = ( Atoms ` K )
5		dalemeea.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
6		dalemeea.o	\|- O = ( LPlanes ` K )
7		dalemeea.y	\|- Y = ( ( P .\/ Q ) .\/ R )
8		dalemeea.z	\|- Z = ( ( S .\/ T ) .\/ U )
9		dalemeea.e	\|- E = ( ( Q .\/ R ) ./\ ( T .\/ U ) )
10	1 2 3 4 7 8	dalemrot	\|- ( ph -> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) )
11		biid	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) )
12		eqid	\|- ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) = ( ( Q .\/ R ) .\/ P )
13		eqid	\|- ( ( T .\/ U ) .\/ S ) = ( ( T .\/ U ) .\/ S )
14	11 2 3 4 5 6 12 13 9	dalemdea	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) -> E e. A )
15	10 14	syl	\|- ( ph -> E e. A )