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Definition df-constr

Description: Define the set of geometrically constructible points, by recursively adding the line-line, line-circle and circle-circle intersections constructions using points in a previous iteration. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Jan-2025)

Ref Expression
Assertion df-constr 
|- Constr = ( rec ( ( s e. _V |-> { x e. CC | ( E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. e e. s E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) " _om )

Detailed syntax breakdown

Step Hyp Ref Expression
0 cconstr 
 |-  Constr
1 vs 
 |-  s
2 cvv 
 |-  _V
3 vx 
 |-  x
4 cc 
 |-  CC
5 va 
 |-  a
6 1 cv 
 |-  s
7 vb 
 |-  b
8 vc 
 |-  c
9 vd 
 |-  d
10 vt 
 |-  t
11 cr 
 |-  RR
12 vr 
 |-  r
13 3 cv 
 |-  x
14 5 cv 
 |-  a
15 caddc 
 |-  +
16 10 cv 
 |-  t
17 cmul 
 |-  x.
18 7 cv 
 |-  b
19 cmin 
 |-  -
20 18 14 19 co 
 |-  ( b - a )
21 16 20 17 co 
 |-  ( t x. ( b - a ) )
22 14 21 15 co 
 |-  ( a + ( t x. ( b - a ) ) )
23 13 22 wceq 
 |-  x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) )
24 8 cv 
 |-  c
25 12 cv 
 |-  r
26 9 cv 
 |-  d
27 26 24 19 co 
 |-  ( d - c )
28 25 27 17 co 
 |-  ( r x. ( d - c ) )
29 24 28 15 co 
 |-  ( c + ( r x. ( d - c ) ) )
30 13 29 wceq 
 |-  x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) )
31 cim 
 |-  Im
32 ccj 
 |-  *
33 20 32 cfv 
 |-  ( * ` ( b - a ) )
34 33 27 17 co 
 |-  ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) )
35 34 31 cfv 
 |-  ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) )
36 cc0 
 |-  0
37 35 36 wne 
 |-  ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0
38 23 30 37 w3a 
 |-  ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 )
39 38 12 11 wrex 
 |-  E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 )
40 39 10 11 wrex 
 |-  E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 )
41 40 9 6 wrex 
 |-  E. d e. s E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 )
42 41 8 6 wrex 
 |-  E. c e. s E. d e. s E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 )
43 42 7 6 wrex 
 |-  E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 )
44 43 5 6 wrex 
 |-  E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 )
45 ve 
 |-  e
46 vf 
 |-  f
47 cabs 
 |-  abs
48 13 24 19 co 
 |-  ( x - c )
49 48 47 cfv 
 |-  ( abs ` ( x - c ) )
50 45 cv 
 |-  e
51 46 cv 
 |-  f
52 50 51 19 co 
 |-  ( e - f )
53 52 47 cfv 
 |-  ( abs ` ( e - f ) )
54 49 53 wceq 
 |-  ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) )
55 23 54 wa 
 |-  ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
56 55 10 11 wrex 
 |-  E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
57 56 46 6 wrex 
 |-  E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
58 57 45 6 wrex 
 |-  E. e e. s E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
59 58 8 6 wrex 
 |-  E. c e. s E. e e. s E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
60 59 7 6 wrex 
 |-  E. b e. s E. c e. s E. e e. s E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
61 60 5 6 wrex 
 |-  E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. e e. s E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
62 14 26 wne 
 |-  a =/= d
63 13 14 19 co 
 |-  ( x - a )
64 63 47 cfv 
 |-  ( abs ` ( x - a ) )
65 18 24 19 co 
 |-  ( b - c )
66 65 47 cfv 
 |-  ( abs ` ( b - c ) )
67 64 66 wceq 
 |-  ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) )
68 13 26 19 co 
 |-  ( x - d )
69 68 47 cfv 
 |-  ( abs ` ( x - d ) )
70 69 53 wceq 
 |-  ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) )
71 62 67 70 w3a 
 |-  ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
72 71 46 6 wrex 
 |-  E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
73 72 45 6 wrex 
 |-  E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
74 73 9 6 wrex 
 |-  E. d e. s E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
75 74 8 6 wrex 
 |-  E. c e. s E. d e. s E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
76 75 7 6 wrex 
 |-  E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
77 76 5 6 wrex 
 |-  E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) )
78 44 61 77 w3o 
 |-  ( E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. e e. s E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) )
79 78 3 4 crab 
 |-  { x e. CC | ( E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. e e. s E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) ) }
80 1 2 79 cmpt 
 |-  ( s e. _V |-> { x e. CC | ( E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. e e. s E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) ) } )
81 c1 
 |-  1
82 36 81 cpr 
 |-  { 0 , 1 }
83 80 82 crdg 
 |-  rec ( ( s e. _V |-> { x e. CC | ( E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. e e. s E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } )
84 com 
 |-  _om
85 83 84 cima 
 |-  ( rec ( ( s e. _V |-> { x e. CC | ( E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. e e. s E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) " _om )
86 0 85 wceq 
 |-  Constr = ( rec ( ( s e. _V |-> { x e. CC | ( E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. t e. RR E. r e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ x = ( c + ( r x. ( d - c ) ) ) /\ ( Im ` ( ( * ` ( b - a ) ) x. ( d - c ) ) ) =/= 0 ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. e e. s E. f e. s E. t e. RR ( x = ( a + ( t x. ( b - a ) ) ) /\ ( abs ` ( x - c ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) \/ E. a e. s E. b e. s E. c e. s E. d e. s E. e e. s E. f e. s ( a =/= d /\ ( abs ` ( x - a ) ) = ( abs ` ( b - c ) ) /\ ( abs ` ( x - d ) ) = ( abs ` ( e - f ) ) ) ) } ) , { 0 , 1 } ) " _om )