Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
0 |
|
csgrp |
|- Smgrp |
1 |
|
vg |
|- g |
2 |
|
cmgm |
|- Mgm |
3 |
|
cbs |
|- Base |
4 |
1
|
cv |
|- g |
5 |
4 3
|
cfv |
|- ( Base ` g ) |
6 |
|
vb |
|- b |
7 |
|
cplusg |
|- +g |
8 |
4 7
|
cfv |
|- ( +g ` g ) |
9 |
|
vo |
|- o |
10 |
|
vx |
|- x |
11 |
6
|
cv |
|- b |
12 |
|
vy |
|- y |
13 |
|
vz |
|- z |
14 |
10
|
cv |
|- x |
15 |
9
|
cv |
|- o |
16 |
12
|
cv |
|- y |
17 |
14 16 15
|
co |
|- ( x o y ) |
18 |
13
|
cv |
|- z |
19 |
17 18 15
|
co |
|- ( ( x o y ) o z ) |
20 |
16 18 15
|
co |
|- ( y o z ) |
21 |
14 20 15
|
co |
|- ( x o ( y o z ) ) |
22 |
19 21
|
wceq |
|- ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) |
23 |
22 13 11
|
wral |
|- A. z e. b ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) |
24 |
23 12 11
|
wral |
|- A. y e. b A. z e. b ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) |
25 |
24 10 11
|
wral |
|- A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) |
26 |
25 9 8
|
wsbc |
|- [. ( +g ` g ) / o ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) |
27 |
26 6 5
|
wsbc |
|- [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / o ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) |
28 |
27 1 2
|
crab |
|- { g e. Mgm | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / o ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) } |
29 |
0 28
|
wceq |
|- Smgrp = { g e. Mgm | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / o ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) } |