Theorem dftr5

Description: An alternate way of defining a transitive class. (Contributed by NM, 20-Mar-2004)

	Ref	Expression
Assertion	dftr5	|- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2	|- ( Tr A <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
2		alcom	|- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
3		impexp	|- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
4	3	albii	|- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
5		df-ral	|- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
6	4 5	bitr4i	|- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) )
7		r19.21v	|- ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
8	6 7	bitri	|- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
9	8	albii	|- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
10		df-ral	|- ( A. x e. A A. y e. x y e. A <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
11	9 10	bitr4i	|- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
12	2 11	bitri	|- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
13	1 12	bitri	|- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )