Theorem difelcarsg2

Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under class difference. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	carsgval.1	|- ( ph -> O e. V )
	carsgval.2	|- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
	difelcarsg.1	|- ( ph -> A e. ( toCaraSiga ` M ) )
	inelcarsg.1	|- ( ( ph /\ a e. ~P O /\ b e. ~P O ) -> ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) )
	inelcarsg.2	|- ( ph -> B e. ( toCaraSiga ` M ) )
Assertion	difelcarsg2	|- ( ph -> ( A \ B ) e. ( toCaraSiga ` M ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	|- ( ph -> O e. V )
2		carsgval.2	|- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3		difelcarsg.1	|- ( ph -> A e. ( toCaraSiga ` M ) )
4		inelcarsg.1	|- ( ( ph /\ a e. ~P O /\ b e. ~P O ) -> ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) )
5		inelcarsg.2	|- ( ph -> B e. ( toCaraSiga ` M ) )
6	1 2 3	elcarsgss	|- ( ph -> A C_ O )
7		difin2	|- ( A C_ O -> ( A \ B ) = ( ( O \ B ) i^i A ) )
8	6 7	syl	|- ( ph -> ( A \ B ) = ( ( O \ B ) i^i A ) )
9	1 2 5	difelcarsg	|- ( ph -> ( O \ B ) e. ( toCaraSiga ` M ) )
10	1 2 9 4 3	inelcarsg	|- ( ph -> ( ( O \ B ) i^i A ) e. ( toCaraSiga ` M ) )
11	8 10	eqeltrd	|- ( ph -> ( A \ B ) e. ( toCaraSiga ` M ) )