Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
carsgval.1 |
|- ( ph -> O e. V ) |
2 |
|
carsgval.2 |
|- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) ) |
3 |
|
difelcarsg.1 |
|- ( ph -> A e. ( toCaraSiga ` M ) ) |
4 |
|
inelcarsg.1 |
|- ( ( ph /\ a e. ~P O /\ b e. ~P O ) -> ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) ) |
5 |
|
inelcarsg.2 |
|- ( ph -> B e. ( toCaraSiga ` M ) ) |
6 |
1 2
|
elcarsg |
|- ( ph -> ( A e. ( toCaraSiga ` M ) <-> ( A C_ O /\ A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i A ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) = ( M ` e ) ) ) ) |
7 |
3 6
|
mpbid |
|- ( ph -> ( A C_ O /\ A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i A ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) = ( M ` e ) ) ) |
8 |
7
|
simpld |
|- ( ph -> A C_ O ) |
9 |
|
ssinss1 |
|- ( A C_ O -> ( A i^i B ) C_ O ) |
10 |
8 9
|
syl |
|- ( ph -> ( A i^i B ) C_ O ) |
11 |
|
iccssxr |
|- ( 0 [,] +oo ) C_ RR* |
12 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) ) |
13 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> e e. ~P O ) |
14 |
13
|
elpwdifcl |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( e \ ( A i^i B ) ) e. ~P O ) |
15 |
12 14
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
16 |
11 15
|
sseldi |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) e. RR* ) |
17 |
13
|
elpwincl1 |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( e i^i A ) e. ~P O ) |
18 |
17
|
elpwdifcl |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( e i^i A ) \ B ) e. ~P O ) |
19 |
12 18
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
20 |
11 19
|
sseldi |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) e. RR* ) |
21 |
13
|
elpwdifcl |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( e \ A ) e. ~P O ) |
22 |
12 21
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( e \ A ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
23 |
11 22
|
sseldi |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( e \ A ) ) e. RR* ) |
24 |
20 23
|
xaddcld |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) e. RR* ) |
25 |
13
|
elpwincl1 |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( e i^i ( A i^i B ) ) e. ~P O ) |
26 |
12 25
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
27 |
11 26
|
sseldi |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) e. RR* ) |
28 |
|
indifundif |
|- ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. ( e \ A ) ) = ( e \ ( A i^i B ) ) |
29 |
28
|
fveq2i |
|- ( M ` ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. ( e \ A ) ) ) = ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) |
30 |
4
|
3expb |
|- ( ( ph /\ ( a e. ~P O /\ b e. ~P O ) ) -> ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) ) |
31 |
30
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. a e. ~P O A. b e. ~P O ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> A. a e. ~P O A. b e. ~P O ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) ) |
33 |
|
uneq1 |
|- ( a = ( ( e i^i A ) \ B ) -> ( a u. b ) = ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. b ) ) |
34 |
33
|
fveq2d |
|- ( a = ( ( e i^i A ) \ B ) -> ( M ` ( a u. b ) ) = ( M ` ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. b ) ) ) |
35 |
|
fveq2 |
|- ( a = ( ( e i^i A ) \ B ) -> ( M ` a ) = ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) ) |
36 |
35
|
oveq1d |
|- ( a = ( ( e i^i A ) \ B ) -> ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) = ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` b ) ) ) |
37 |
34 36
|
breq12d |
|- ( a = ( ( e i^i A ) \ B ) -> ( ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) <-> ( M ` ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. b ) ) <_ ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` b ) ) ) ) |
38 |
|
uneq2 |
|- ( b = ( e \ A ) -> ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. b ) = ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. ( e \ A ) ) ) |
39 |
38
|
fveq2d |
|- ( b = ( e \ A ) -> ( M ` ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. b ) ) = ( M ` ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. ( e \ A ) ) ) ) |
40 |
|
fveq2 |
|- ( b = ( e \ A ) -> ( M ` b ) = ( M ` ( e \ A ) ) ) |
41 |
40
|
oveq2d |
|- ( b = ( e \ A ) -> ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` b ) ) = ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) |
42 |
39 41
|
breq12d |
|- ( b = ( e \ A ) -> ( ( M ` ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. b ) ) <_ ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` b ) ) <-> ( M ` ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. ( e \ A ) ) ) <_ ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) ) |
43 |
37 42
|
rspc2v |
|- ( ( ( ( e i^i A ) \ B ) e. ~P O /\ ( e \ A ) e. ~P O ) -> ( A. a e. ~P O A. b e. ~P O ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) -> ( M ` ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. ( e \ A ) ) ) <_ ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) ) |
44 |
43
|
imp |
|- ( ( ( ( ( e i^i A ) \ B ) e. ~P O /\ ( e \ A ) e. ~P O ) /\ A. a e. ~P O A. b e. ~P O ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) ) -> ( M ` ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. ( e \ A ) ) ) <_ ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) |
45 |
18 21 32 44
|
syl21anc |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( ( ( e i^i A ) \ B ) u. ( e \ A ) ) ) <_ ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) |
46 |
29 45
|
eqbrtrrid |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) <_ ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) |
47 |
|
xleadd2a |
|- ( ( ( ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) e. RR* /\ ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) e. RR* /\ ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) e. RR* ) /\ ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) <_ ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) -> ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) ) |
48 |
16 24 27 46 47
|
syl31anc |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) ) |
49 |
1 2
|
elcarsg |
|- ( ph -> ( B e. ( toCaraSiga ` M ) <-> ( B C_ O /\ A. f e. ~P O ( ( M ` ( f i^i B ) ) +e ( M ` ( f \ B ) ) ) = ( M ` f ) ) ) ) |
50 |
5 49
|
mpbid |
|- ( ph -> ( B C_ O /\ A. f e. ~P O ( ( M ` ( f i^i B ) ) +e ( M ` ( f \ B ) ) ) = ( M ` f ) ) ) |
51 |
50
|
simprd |
|- ( ph -> A. f e. ~P O ( ( M ` ( f i^i B ) ) +e ( M ` ( f \ B ) ) ) = ( M ` f ) ) |
52 |
51
|
adantr |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> A. f e. ~P O ( ( M ` ( f i^i B ) ) +e ( M ` ( f \ B ) ) ) = ( M ` f ) ) |
53 |
|
ineq1 |
|- ( f = ( e i^i A ) -> ( f i^i B ) = ( ( e i^i A ) i^i B ) ) |
54 |
53
|
fveq2d |
|- ( f = ( e i^i A ) -> ( M ` ( f i^i B ) ) = ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) ) |
55 |
|
difeq1 |
|- ( f = ( e i^i A ) -> ( f \ B ) = ( ( e i^i A ) \ B ) ) |
56 |
55
|
fveq2d |
|- ( f = ( e i^i A ) -> ( M ` ( f \ B ) ) = ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) ) |
57 |
54 56
|
oveq12d |
|- ( f = ( e i^i A ) -> ( ( M ` ( f i^i B ) ) +e ( M ` ( f \ B ) ) ) = ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) ) ) |
58 |
|
fveq2 |
|- ( f = ( e i^i A ) -> ( M ` f ) = ( M ` ( e i^i A ) ) ) |
59 |
57 58
|
eqeq12d |
|- ( f = ( e i^i A ) -> ( ( ( M ` ( f i^i B ) ) +e ( M ` ( f \ B ) ) ) = ( M ` f ) <-> ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) ) = ( M ` ( e i^i A ) ) ) ) |
60 |
59
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ e e. ~P O ) /\ f = ( e i^i A ) ) -> ( ( ( M ` ( f i^i B ) ) +e ( M ` ( f \ B ) ) ) = ( M ` f ) <-> ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) ) = ( M ` ( e i^i A ) ) ) ) |
61 |
17 60
|
rspcdv |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( A. f e. ~P O ( ( M ` ( f i^i B ) ) +e ( M ` ( f \ B ) ) ) = ( M ` f ) -> ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) ) = ( M ` ( e i^i A ) ) ) ) |
62 |
52 61
|
mpd |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) ) = ( M ` ( e i^i A ) ) ) |
63 |
62
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) = ( ( M ` ( e i^i A ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) |
64 |
17
|
elpwincl1 |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( e i^i A ) i^i B ) e. ~P O ) |
65 |
12 64
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
66 |
|
xrge0addass |
|- ( ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` ( e \ A ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) = ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) ) |
67 |
65 19 22 66
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) = ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) ) |
68 |
|
inass |
|- ( ( e i^i A ) i^i B ) = ( e i^i ( A i^i B ) ) |
69 |
68
|
fveq2i |
|- ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) = ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) |
70 |
69
|
oveq1i |
|- ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) = ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) |
71 |
67 70
|
eqtrdi |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( ( M ` ( ( e i^i A ) i^i B ) ) +e ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) = ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) ) |
72 |
7
|
simprd |
|- ( ph -> A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i A ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) = ( M ` e ) ) |
73 |
72
|
r19.21bi |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( M ` ( e i^i A ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) = ( M ` e ) ) |
74 |
63 71 73
|
3eqtr3d |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( ( M ` ( ( e i^i A ) \ B ) ) +e ( M ` ( e \ A ) ) ) ) = ( M ` e ) ) |
75 |
48 74
|
breqtrd |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) <_ ( M ` e ) ) |
76 |
|
inundif |
|- ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. ( e \ ( A i^i B ) ) ) = e |
77 |
76
|
fveq2i |
|- ( M ` ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) = ( M ` e ) |
78 |
|
uneq1 |
|- ( a = ( e i^i ( A i^i B ) ) -> ( a u. b ) = ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. b ) ) |
79 |
78
|
fveq2d |
|- ( a = ( e i^i ( A i^i B ) ) -> ( M ` ( a u. b ) ) = ( M ` ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. b ) ) ) |
80 |
|
fveq2 |
|- ( a = ( e i^i ( A i^i B ) ) -> ( M ` a ) = ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) ) |
81 |
80
|
oveq1d |
|- ( a = ( e i^i ( A i^i B ) ) -> ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) = ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` b ) ) ) |
82 |
79 81
|
breq12d |
|- ( a = ( e i^i ( A i^i B ) ) -> ( ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) <-> ( M ` ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. b ) ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` b ) ) ) ) |
83 |
|
uneq2 |
|- ( b = ( e \ ( A i^i B ) ) -> ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. b ) = ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) |
84 |
83
|
fveq2d |
|- ( b = ( e \ ( A i^i B ) ) -> ( M ` ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. b ) ) = ( M ` ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) ) |
85 |
|
fveq2 |
|- ( b = ( e \ ( A i^i B ) ) -> ( M ` b ) = ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) |
86 |
85
|
oveq2d |
|- ( b = ( e \ ( A i^i B ) ) -> ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` b ) ) = ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) ) |
87 |
84 86
|
breq12d |
|- ( b = ( e \ ( A i^i B ) ) -> ( ( M ` ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. b ) ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` b ) ) <-> ( M ` ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) ) ) |
88 |
82 87
|
rspc2v |
|- ( ( ( e i^i ( A i^i B ) ) e. ~P O /\ ( e \ ( A i^i B ) ) e. ~P O ) -> ( A. a e. ~P O A. b e. ~P O ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) -> ( M ` ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) ) ) |
89 |
88
|
imp |
|- ( ( ( ( e i^i ( A i^i B ) ) e. ~P O /\ ( e \ ( A i^i B ) ) e. ~P O ) /\ A. a e. ~P O A. b e. ~P O ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) ) -> ( M ` ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) ) |
90 |
25 14 32 89
|
syl21anc |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` ( ( e i^i ( A i^i B ) ) u. ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) ) |
91 |
77 90
|
eqbrtrrid |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` e ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) ) |
92 |
75 91
|
jca |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) <_ ( M ` e ) /\ ( M ` e ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) ) ) |
93 |
27 16
|
xaddcld |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) e. RR* ) |
94 |
2
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` e ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
95 |
11 94
|
sseldi |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( M ` e ) e. RR* ) |
96 |
|
xrletri3 |
|- ( ( ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) e. RR* /\ ( M ` e ) e. RR* ) -> ( ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) = ( M ` e ) <-> ( ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) <_ ( M ` e ) /\ ( M ` e ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) ) ) ) |
97 |
93 95 96
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) = ( M ` e ) <-> ( ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) <_ ( M ` e ) /\ ( M ` e ) <_ ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) ) ) ) |
98 |
92 97
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ e e. ~P O ) -> ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) = ( M ` e ) ) |
99 |
98
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) = ( M ` e ) ) |
100 |
10 99
|
jca |
|- ( ph -> ( ( A i^i B ) C_ O /\ A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) = ( M ` e ) ) ) |
101 |
1 2
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elcarsg |
|- ( ph -> ( ( A i^i B ) e. ( toCaraSiga ` M ) <-> ( ( A i^i B ) C_ O /\ A. e e. ~P O ( ( M ` ( e i^i ( A i^i B ) ) ) +e ( M ` ( e \ ( A i^i B ) ) ) ) = ( M ` e ) ) ) ) |
102 |
100 101
|
mpbird |
|- ( ph -> ( A i^i B ) e. ( toCaraSiga ` M ) ) |