Theorem unelcarsg

Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under pairwise unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	carsgval.1	|- ( ph -> O e. V )
	carsgval.2	|- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
	difelcarsg.1	|- ( ph -> A e. ( toCaraSiga ` M ) )
	inelcarsg.1	|- ( ( ph /\ a e. ~P O /\ b e. ~P O ) -> ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) )
	inelcarsg.2	|- ( ph -> B e. ( toCaraSiga ` M ) )
Assertion	unelcarsg	|- ( ph -> ( A u. B ) e. ( toCaraSiga ` M ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsgval.1	|- ( ph -> O e. V )
2		carsgval.2	|- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
3		difelcarsg.1	|- ( ph -> A e. ( toCaraSiga ` M ) )
4		inelcarsg.1	|- ( ( ph /\ a e. ~P O /\ b e. ~P O ) -> ( M ` ( a u. b ) ) <_ ( ( M ` a ) +e ( M ` b ) ) )
5		inelcarsg.2	|- ( ph -> B e. ( toCaraSiga ` M ) )
6	1 2 3	elcarsgss	|- ( ph -> A C_ O )
7		dfss4	|- ( A C_ O <-> ( O \ ( O \ A ) ) = A )
8	6 7	sylib	|- ( ph -> ( O \ ( O \ A ) ) = A )
9	1 2 5	elcarsgss	|- ( ph -> B C_ O )
10		dfss4	|- ( B C_ O <-> ( O \ ( O \ B ) ) = B )
11	9 10	sylib	|- ( ph -> ( O \ ( O \ B ) ) = B )
12	8 11	uneq12d	|- ( ph -> ( ( O \ ( O \ A ) ) u. ( O \ ( O \ B ) ) ) = ( A u. B ) )
13		difindi	|- ( O \ ( ( O \ A ) i^i ( O \ B ) ) ) = ( ( O \ ( O \ A ) ) u. ( O \ ( O \ B ) ) )
14	1 2 3	difelcarsg	|- ( ph -> ( O \ A ) e. ( toCaraSiga ` M ) )
15	1 2 5	difelcarsg	|- ( ph -> ( O \ B ) e. ( toCaraSiga ` M ) )
16	1 2 14 4 15	inelcarsg	|- ( ph -> ( ( O \ A ) i^i ( O \ B ) ) e. ( toCaraSiga ` M ) )
17	1 2 16	difelcarsg	|- ( ph -> ( O \ ( ( O \ A ) i^i ( O \ B ) ) ) e. ( toCaraSiga ` M ) )
18	13 17	eqeltrrid	|- ( ph -> ( ( O \ ( O \ A ) ) u. ( O \ ( O \ B ) ) ) e. ( toCaraSiga ` M ) )
19	12 18	eqeltrrd	|- ( ph -> ( A u. B ) e. ( toCaraSiga ` M ) )