Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
carsgval.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉 ) |
2 |
|
carsgval.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 : 𝒫 𝑂 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
3 |
|
difelcarsg.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( toCaraSiga ‘ 𝑀 ) ) |
4 |
|
inelcarsg.1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ) |
5 |
|
inelcarsg.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( toCaraSiga ‘ 𝑀 ) ) |
6 |
1 2
|
elcarsg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ ( toCaraSiga ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ) ) ) |
7 |
3 6
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ ∀ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ) ) |
8 |
7
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂 ) |
9 |
|
ssinss1 |
⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝑂 → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑂 ) |
10 |
8 9
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑂 ) |
11 |
|
iccssxr |
⊢ ( 0 [,] +∞ ) ⊆ ℝ* |
12 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → 𝑀 : 𝒫 𝑂 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) ) |
13 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) |
14 |
13
|
elpwdifcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∈ 𝒫 𝑂 ) |
15 |
12 14
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
16 |
11 15
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
17 |
13
|
elpwincl1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∈ 𝒫 𝑂 ) |
18 |
17
|
elpwdifcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∈ 𝒫 𝑂 ) |
19 |
12 18
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
20 |
11 19
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ* ) |
21 |
13
|
elpwdifcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ∈ 𝒫 𝑂 ) |
22 |
12 21
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
23 |
11 22
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ∈ ℝ* ) |
24 |
20 23
|
xaddcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
25 |
13
|
elpwincl1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∈ 𝒫 𝑂 ) |
26 |
12 25
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
27 |
11 26
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
28 |
|
indifundif |
⊢ ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) = ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) |
29 |
28
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) |
30 |
4
|
3expb |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ) |
31 |
30
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∀ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ) |
32 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∀ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ) |
33 |
|
uneq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) → ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) = ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ 𝑏 ) ) |
34 |
33
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑎 = ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) = ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ 𝑏 ) ) ) |
35 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑎 = ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) = ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ) |
36 |
35
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑎 = ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ) |
37 |
34 36
|
breq12d |
⊢ ( 𝑎 = ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ) ) |
38 |
|
uneq2 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ 𝑏 ) = ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) |
39 |
38
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) → ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ 𝑏 ) ) = ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) |
40 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) |
41 |
40
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) |
42 |
39 41
|
breq12d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) |
43 |
37 42
|
rspc2v |
⊢ ( ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ∀ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∀ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) → ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) |
44 |
43
|
imp |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ∈ 𝒫 𝑂 ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∀ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) |
45 |
18 21 32 44
|
syl21anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ∪ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) |
46 |
29 45
|
eqbrtrrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) |
47 |
|
xleadd2a |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) |
48 |
16 24 27 46 47
|
syl31anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) |
49 |
1 2
|
elcarsg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ( toCaraSiga ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ ∀ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∖ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑓 ) ) ) ) |
50 |
5 49
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ⊆ 𝑂 ∧ ∀ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∖ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑓 ) ) ) |
51 |
50
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∖ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑓 ) ) |
52 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ∀ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∖ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑓 ) ) |
53 |
|
ineq1 |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) → ( 𝑓 ∩ 𝐵 ) = ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) |
54 |
53
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∩ 𝐵 ) ) = ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) ) |
55 |
|
difeq1 |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) → ( 𝑓 ∖ 𝐵 ) = ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) |
56 |
55
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∖ 𝐵 ) ) = ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ) |
57 |
54 56
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∖ 𝐵 ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ) ) |
58 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑓 ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ) ) |
59 |
57 58
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∖ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑓 ) ↔ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
60 |
59
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) ∧ 𝑓 = ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∖ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑓 ) ↔ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
61 |
17 60
|
rspcdv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ∀ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑓 ∖ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑓 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ) ) ) |
62 |
52 61
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ) ) |
63 |
62
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) |
64 |
17
|
elpwincl1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∈ 𝒫 𝑂 ) |
65 |
12 64
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
66 |
|
xrge0addass |
⊢ ( ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) → ( ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) |
67 |
65 19 22 66
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) |
68 |
|
inass |
⊢ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) |
69 |
68
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) |
70 |
69
|
oveq1i |
⊢ ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) |
71 |
67 70
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) ) |
72 |
7
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ) |
73 |
72
|
r19.21bi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ) |
74 |
63 71 73
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ 𝐴 ) ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ) |
75 |
48 74
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ) |
76 |
|
inundif |
⊢ ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) = 𝑒 |
77 |
76
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) |
78 |
|
uneq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) = ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ 𝑏 ) ) |
79 |
78
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) = ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ 𝑏 ) ) ) |
80 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) |
81 |
80
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ) |
82 |
79 81
|
breq12d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ) ) |
83 |
|
uneq2 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ 𝑏 ) = ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) |
84 |
83
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ 𝑏 ) ) = ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) |
85 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) |
86 |
85
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) |
87 |
84 86
|
breq12d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
88 |
82 87
|
rspc2v |
⊢ ( ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ∀ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∀ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
89 |
88
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∈ 𝒫 𝑂 ) ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∀ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ( 𝑀 ‘ ( 𝑎 ∪ 𝑏 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ 𝑎 ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) |
90 |
25 14 32 89
|
syl21anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∪ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) |
91 |
77 90
|
eqbrtrrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) |
92 |
75 91
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
93 |
27 16
|
xaddcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℝ* ) |
94 |
2
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
95 |
11 94
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ∈ ℝ* ) |
96 |
|
xrletri3 |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ∈ ℝ* ) → ( ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ↔ ( ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) ) ) |
97 |
93 95 96
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ↔ ( ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ≤ ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ∧ ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ≤ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) ) ) |
98 |
92 97
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ) |
99 |
98
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ) |
100 |
10 99
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑂 ∧ ∀ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ) ) |
101 |
1 2
|
elcarsg |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∈ ( toCaraSiga ‘ 𝑀 ) ↔ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑂 ∧ ∀ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) +𝑒 ( 𝑀 ‘ ( 𝑒 ∖ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝑀 ‘ 𝑒 ) ) ) ) |
102 |
100 101
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∈ ( toCaraSiga ‘ 𝑀 ) ) |