Theorem efmndov

Description: The value of the group operation of the monoid of endofunctions on A . (Contributed by AV, 27-Jan-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	efmndtset.g	|- G = ( EndoFMnd ` A )
	efmndplusg.b	|- B = ( Base ` G )
	efmndplusg.p	|- .+ = ( +g ` G )
Assertion	efmndov	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( X o. Y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndtset.g	|- G = ( EndoFMnd ` A )
2		efmndplusg.b	|- B = ( Base ` G )
3		efmndplusg.p	|- .+ = ( +g ` G )
4		coexg	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X o. Y ) e. _V )
5		coeq1	|- ( f = X -> ( f o. g ) = ( X o. g ) )
6		coeq2	|- ( g = Y -> ( X o. g ) = ( X o. Y ) )
7	1 2 3	efmndplusg	|- .+ = ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) )
8	5 6 7	ovmpog	|- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X o. Y ) e. _V ) -> ( X .+ Y ) = ( X o. Y ) )
9	4 8	mpd3an3	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( X o. Y ) )