Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
el2mpocl.o |
|- O = ( x e. A , y e. B |-> ( s e. C , t e. D |-> E ) ) |
2 |
|
el2mpocl.e |
|- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( C = F /\ D = G ) ) |
3 |
1
|
el2mpocsbcl |
|- ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) -> ( W e. ( S ( X O Y ) T ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) ) ) |
4 |
|
simpl |
|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> X e. A ) |
5 |
|
simplr |
|- ( ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ x = X ) -> Y e. B ) |
6 |
2
|
simpld |
|- ( ( x = X /\ y = Y ) -> C = F ) |
7 |
6
|
adantll |
|- ( ( ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ x = X ) /\ y = Y ) -> C = F ) |
8 |
5 7
|
csbied |
|- ( ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ x = X ) -> [_ Y / y ]_ C = F ) |
9 |
4 8
|
csbied |
|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C = F ) |
10 |
9
|
eleq2d |
|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C <-> S e. F ) ) |
11 |
2
|
simprd |
|- ( ( x = X /\ y = Y ) -> D = G ) |
12 |
11
|
adantll |
|- ( ( ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ x = X ) /\ y = Y ) -> D = G ) |
13 |
5 12
|
csbied |
|- ( ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ x = X ) -> [_ Y / y ]_ D = G ) |
14 |
4 13
|
csbied |
|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D = G ) |
15 |
14
|
eleq2d |
|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D <-> T e. G ) ) |
16 |
10 15
|
anbi12d |
|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) <-> ( S e. F /\ T e. G ) ) ) |
17 |
16
|
biimpd |
|- ( ( X e. A /\ Y e. B ) -> ( ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) -> ( S e. F /\ T e. G ) ) ) |
18 |
17
|
imdistani |
|- ( ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ C /\ T e. [_ X / x ]_ [_ Y / y ]_ D ) ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. F /\ T e. G ) ) ) |
19 |
3 18
|
syl6 |
|- ( A. x e. A A. y e. B ( C e. U /\ D e. V ) -> ( W e. ( S ( X O Y ) T ) -> ( ( X e. A /\ Y e. B ) /\ ( S e. F /\ T e. G ) ) ) ) |