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## Theorem ellnop

Description: Property defining a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion ellnop
`|- ( T e. LinOp <-> ( T : ~H --> ~H /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fveq1
` |-  ( t = T -> ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) )`
2 fveq1
` |-  ( t = T -> ( t ` y ) = ( T ` y ) )`
3 2 oveq2d
` |-  ( t = T -> ( x .h ( t ` y ) ) = ( x .h ( T ` y ) ) )`
4 fveq1
` |-  ( t = T -> ( t ` z ) = ( T ` z ) )`
5 3 4 oveq12d
` |-  ( t = T -> ( ( x .h ( t ` y ) ) +h ( t ` z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) )`
6 1 5 eqeq12d
` |-  ( t = T -> ( ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( t ` y ) ) +h ( t ` z ) ) <-> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )`
7 6 ralbidv
` |-  ( t = T -> ( A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( t ` y ) ) +h ( t ` z ) ) <-> A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )`
8 7 2ralbidv
` |-  ( t = T -> ( A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( t ` y ) ) +h ( t ` z ) ) <-> A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )`
9 df-lnop
` |-  LinOp = { t e. ( ~H ^m ~H ) | A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( t ` y ) ) +h ( t ` z ) ) }`
10 8 9 elrab2
` |-  ( T e. LinOp <-> ( T e. ( ~H ^m ~H ) /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )`
11 ax-hilex
` |-  ~H e. _V`
12 11 11 elmap
` |-  ( T e. ( ~H ^m ~H ) <-> T : ~H --> ~H )`
13 12 anbi1i
` |-  ( ( T e. ( ~H ^m ~H ) /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) <-> ( T : ~H --> ~H /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )`
14 10 13 bitri
` |-  ( T e. LinOp <-> ( T : ~H --> ~H /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x .h ( T ` y ) ) +h ( T ` z ) ) ) )`