Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
erngset.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
erngset.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
3 |
|
erngset.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
4 |
|
erngset.d |
|- D = ( ( EDRing ` K ) ` W ) |
5 |
|
erng.p |
|- .+ = ( +g ` D ) |
6 |
1 2 3 4
|
erngset |
|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> D = { <. ( Base ` ndx ) , E >. , <. ( +g ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) >. } ) |
7 |
6
|
fveq2d |
|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( +g ` D ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , E >. , <. ( +g ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) >. } ) ) |
8 |
3
|
fvexi |
|- E e. _V |
9 |
8 8
|
mpoex |
|- ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) e. _V |
10 |
|
eqid |
|- { <. ( Base ` ndx ) , E >. , <. ( +g ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) >. } = { <. ( Base ` ndx ) , E >. , <. ( +g ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) >. } |
11 |
10
|
rngplusg |
|- ( ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) e. _V -> ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , E >. , <. ( +g ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) >. } ) ) |
12 |
9 11
|
ax-mp |
|- ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , E >. , <. ( +g ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) >. } ) |
13 |
7 5 12
|
3eqtr4g |
|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> .+ = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) ) |