Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fdmdifeqresdif.f |
|- F = ( x e. D |-> if ( x = Y , X , ( G ` x ) ) ) |
2 |
|
eldifsnneq |
|- ( x e. ( D \ { Y } ) -> -. x = Y ) |
3 |
2
|
adantl |
|- ( ( G : ( D \ { Y } ) --> R /\ x e. ( D \ { Y } ) ) -> -. x = Y ) |
4 |
3
|
iffalsed |
|- ( ( G : ( D \ { Y } ) --> R /\ x e. ( D \ { Y } ) ) -> if ( x = Y , X , ( G ` x ) ) = ( G ` x ) ) |
5 |
4
|
mpteq2dva |
|- ( G : ( D \ { Y } ) --> R -> ( x e. ( D \ { Y } ) |-> if ( x = Y , X , ( G ` x ) ) ) = ( x e. ( D \ { Y } ) |-> ( G ` x ) ) ) |
6 |
1
|
reseq1i |
|- ( F |` ( D \ { Y } ) ) = ( ( x e. D |-> if ( x = Y , X , ( G ` x ) ) ) |` ( D \ { Y } ) ) |
7 |
|
difssd |
|- ( G : ( D \ { Y } ) --> R -> ( D \ { Y } ) C_ D ) |
8 |
7
|
resmptd |
|- ( G : ( D \ { Y } ) --> R -> ( ( x e. D |-> if ( x = Y , X , ( G ` x ) ) ) |` ( D \ { Y } ) ) = ( x e. ( D \ { Y } ) |-> if ( x = Y , X , ( G ` x ) ) ) ) |
9 |
6 8
|
syl5eq |
|- ( G : ( D \ { Y } ) --> R -> ( F |` ( D \ { Y } ) ) = ( x e. ( D \ { Y } ) |-> if ( x = Y , X , ( G ` x ) ) ) ) |
10 |
|
ffn |
|- ( G : ( D \ { Y } ) --> R -> G Fn ( D \ { Y } ) ) |
11 |
|
dffn5 |
|- ( G Fn ( D \ { Y } ) <-> G = ( x e. ( D \ { Y } ) |-> ( G ` x ) ) ) |
12 |
10 11
|
sylib |
|- ( G : ( D \ { Y } ) --> R -> G = ( x e. ( D \ { Y } ) |-> ( G ` x ) ) ) |
13 |
5 9 12
|
3eqtr4rd |
|- ( G : ( D \ { Y } ) --> R -> G = ( F |` ( D \ { Y } ) ) ) |