Theorem funcsetcestrclem6

Description: Lemma 6 for funcsetcestrc . (Contributed by AV, 27-Mar-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	funcsetcestrc.s	|- S = ( SetCat ` U )
	funcsetcestrc.c	|- C = ( Base ` S )
	funcsetcestrc.f	|- ( ph -> F = ( x e. C |-> { <. ( Base ` ndx ) , x >. } ) )
	funcsetcestrc.u	|- ( ph -> U e. WUni )
	funcsetcestrc.o	|- ( ph -> _om e. U )
	funcsetcestrc.g	|- ( ph -> G = ( x e. C , y e. C |-> ( _I |` ( y ^m x ) ) ) )
Assertion	funcsetcestrclem6	|- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) /\ H e. ( Y ^m X ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	|- S = ( SetCat ` U )
2		funcsetcestrc.c	|- C = ( Base ` S )
3		funcsetcestrc.f	|- ( ph -> F = ( x e. C |-> { <. ( Base ` ndx ) , x >. } ) )
4		funcsetcestrc.u	|- ( ph -> U e. WUni )
5		funcsetcestrc.o	|- ( ph -> _om e. U )
6		funcsetcestrc.g	|- ( ph -> G = ( x e. C , y e. C |-> ( _I |` ( y ^m x ) ) ) )
7	1 2 3 4 5 6	funcsetcestrclem5	|- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) ) -> ( X G Y ) = ( _I |` ( Y ^m X ) ) )
8	7	3adant3	|- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) /\ H e. ( Y ^m X ) ) -> ( X G Y ) = ( _I |` ( Y ^m X ) ) )
9	8	fveq1d	|- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) /\ H e. ( Y ^m X ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = ( ( _I |` ( Y ^m X ) ) ` H ) )
10		fvresi	|- ( H e. ( Y ^m X ) -> ( ( _I |` ( Y ^m X ) ) ` H ) = H )
11	10	3ad2ant3	|- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) /\ H e. ( Y ^m X ) ) -> ( ( _I |` ( Y ^m X ) ) ` H ) = H )
12	9 11	eqtrd	|- ( ( ph /\ ( X e. C /\ Y e. C ) /\ H e. ( Y ^m X ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )