Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfzuzb |
|- ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) ) |
2 |
|
elnnuz |
|- ( K e. NN <-> K e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
3 |
2
|
anbi1i |
|- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) ) |
4 |
1 3
|
bitr4i |
|- ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) ) |
5 |
|
nnz |
|- ( K e. NN -> K e. ZZ ) |
6 |
|
eluz |
|- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) ) |
7 |
5 6
|
sylan |
|- ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) ) |
8 |
7
|
ancoms |
|- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) ) |
9 |
8
|
pm5.32da |
|- ( N e. ZZ -> ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. NN /\ K <_ N ) ) ) |
10 |
4 9
|
syl5bb |
|- ( N e. ZZ -> ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ K <_ N ) ) ) |