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Theorem gneispace0nelrn

Description: A generic neighborhood space has a nonempty set of neighborhoods for every point in its domain. (Contributed by RP, 15-Apr-2021)

Ref Expression
Hypothesis gneispace.a 
|- A = { f | ( f : dom f --> ( ~P ( ~P dom f \ { (/) } ) \ { (/) } ) /\ A. p e. dom f A. n e. ( f ` p ) ( p e. n /\ A. s e. ~P dom f ( n C_ s -> s e. ( f ` p ) ) ) ) }
Assertion gneispace0nelrn 
|- ( F e. A -> A. p e. dom F ( F ` p ) =/= (/) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 gneispace.a 
 |-  A = { f | ( f : dom f --> ( ~P ( ~P dom f \ { (/) } ) \ { (/) } ) /\ A. p e. dom f A. n e. ( f ` p ) ( p e. n /\ A. s e. ~P dom f ( n C_ s -> s e. ( f ` p ) ) ) ) }
2 elex 
 |-  ( F e. A -> F e. _V )
3 1 gneispace 
 |-  ( F e. _V -> ( F e. A <-> ( Fun F /\ ran F C_ ~P ~P dom F /\ A. p e. dom F ( ( F ` p ) =/= (/) /\ A. n e. ( F ` p ) ( p e. n /\ A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` p ) ) ) ) ) ) )
4 2 3 syl 
 |-  ( F e. A -> ( F e. A <-> ( Fun F /\ ran F C_ ~P ~P dom F /\ A. p e. dom F ( ( F ` p ) =/= (/) /\ A. n e. ( F ` p ) ( p e. n /\ A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` p ) ) ) ) ) ) )
5 4 ibi 
 |-  ( F e. A -> ( Fun F /\ ran F C_ ~P ~P dom F /\ A. p e. dom F ( ( F ` p ) =/= (/) /\ A. n e. ( F ` p ) ( p e. n /\ A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` p ) ) ) ) ) )
6 5 simp3d 
 |-  ( F e. A -> A. p e. dom F ( ( F ` p ) =/= (/) /\ A. n e. ( F ` p ) ( p e. n /\ A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` p ) ) ) ) )
7 simpl 
 |-  ( ( ( F ` p ) =/= (/) /\ A. n e. ( F ` p ) ( p e. n /\ A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` p ) ) ) ) -> ( F ` p ) =/= (/) )
8 7 ralimi 
 |-  ( A. p e. dom F ( ( F ` p ) =/= (/) /\ A. n e. ( F ` p ) ( p e. n /\ A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` p ) ) ) ) -> A. p e. dom F ( F ` p ) =/= (/) )
9 6 8 syl 
 |-  ( F e. A -> A. p e. dom F ( F ` p ) =/= (/) )