Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hash2prb |
|- ( P e. V -> ( ( # ` P ) = 2 <-> E. x e. P E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) ) |
2 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( x e. P /\ y e. P ) /\ x =/= y ) /\ ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) ) /\ P = { x , y } ) -> P = { x , y } ) |
3 |
|
3simpa |
|- ( ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) -> ( X e. P /\ Y e. P ) ) |
4 |
3
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( x e. P /\ y e. P ) /\ x =/= y ) /\ ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) ) /\ P = { x , y } ) -> ( X e. P /\ Y e. P ) ) |
5 |
|
eleq2 |
|- ( P = { x , y } -> ( X e. P <-> X e. { x , y } ) ) |
6 |
|
eleq2 |
|- ( P = { x , y } -> ( Y e. P <-> Y e. { x , y } ) ) |
7 |
5 6
|
anbi12d |
|- ( P = { x , y } -> ( ( X e. P /\ Y e. P ) <-> ( X e. { x , y } /\ Y e. { x , y } ) ) ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( x e. P /\ y e. P ) /\ x =/= y ) /\ ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) ) /\ P = { x , y } ) -> ( ( X e. P /\ Y e. P ) <-> ( X e. { x , y } /\ Y e. { x , y } ) ) ) |
9 |
4 8
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( x e. P /\ y e. P ) /\ x =/= y ) /\ ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) ) /\ P = { x , y } ) -> ( X e. { x , y } /\ Y e. { x , y } ) ) |
10 |
|
prel12g |
|- ( ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) -> ( { X , Y } = { x , y } <-> ( X e. { x , y } /\ Y e. { x , y } ) ) ) |
11 |
10
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( x e. P /\ y e. P ) /\ x =/= y ) /\ ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) ) /\ P = { x , y } ) -> ( { X , Y } = { x , y } <-> ( X e. { x , y } /\ Y e. { x , y } ) ) ) |
12 |
9 11
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( x e. P /\ y e. P ) /\ x =/= y ) /\ ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) ) /\ P = { x , y } ) -> { X , Y } = { x , y } ) |
13 |
2 12
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( ( x e. P /\ y e. P ) /\ x =/= y ) /\ ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) ) /\ P = { x , y } ) -> P = { X , Y } ) |
14 |
13
|
exp31 |
|- ( ( ( x e. P /\ y e. P ) /\ x =/= y ) -> ( ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) -> ( P = { x , y } -> P = { X , Y } ) ) ) |
15 |
14
|
com23 |
|- ( ( ( x e. P /\ y e. P ) /\ x =/= y ) -> ( P = { x , y } -> ( ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) -> P = { X , Y } ) ) ) |
16 |
15
|
expimpd |
|- ( ( x e. P /\ y e. P ) -> ( ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> ( ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) -> P = { X , Y } ) ) ) |
17 |
16
|
rexlimivv |
|- ( E. x e. P E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> ( ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) -> P = { X , Y } ) ) |
18 |
1 17
|
syl6bi |
|- ( P e. V -> ( ( # ` P ) = 2 -> ( ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) -> P = { X , Y } ) ) ) |
19 |
18
|
imp |
|- ( ( P e. V /\ ( # ` P ) = 2 ) -> ( ( X e. P /\ Y e. P /\ X =/= Y ) -> P = { X , Y } ) ) |