Theorem hcaucvg

Description: A Cauchy sequence on a Hilbert space converges. (Contributed by NM, 16-Aug-1999) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	hcaucvg	|- ( ( F e. Cauchy /\ A e. RR+ ) -> E. y e. NN A. z e. ( ZZ>= ` y ) ( normh ` ( ( F ` y ) -h ( F ` z ) ) ) < A )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hcau	|- ( F e. Cauchy <-> ( F : NN --> ~H /\ A. x e. RR+ E. y e. NN A. z e. ( ZZ>= ` y ) ( normh ` ( ( F ` y ) -h ( F ` z ) ) ) < x ) )
2	1	simprbi	|- ( F e. Cauchy -> A. x e. RR+ E. y e. NN A. z e. ( ZZ>= ` y ) ( normh ` ( ( F ` y ) -h ( F ` z ) ) ) < x )
3		breq2	|- ( x = A -> ( ( normh ` ( ( F ` y ) -h ( F ` z ) ) ) < x <-> ( normh ` ( ( F ` y ) -h ( F ` z ) ) ) < A ) )
4	3	rexralbidv	|- ( x = A -> ( E. y e. NN A. z e. ( ZZ>= ` y ) ( normh ` ( ( F ` y ) -h ( F ` z ) ) ) < x <-> E. y e. NN A. z e. ( ZZ>= ` y ) ( normh ` ( ( F ` y ) -h ( F ` z ) ) ) < A ) )
5	4	rspccva	|- ( ( A. x e. RR+ E. y e. NN A. z e. ( ZZ>= ` y ) ( normh ` ( ( F ` y ) -h ( F ` z ) ) ) < x /\ A e. RR+ ) -> E. y e. NN A. z e. ( ZZ>= ` y ) ( normh ` ( ( F ` y ) -h ( F ` z ) ) ) < A )
6	2 5	sylan	|- ( ( F e. Cauchy /\ A e. RR+ ) -> E. y e. NN A. z e. ( ZZ>= ` y ) ( normh ` ( ( F ` y ) -h ( F ` z ) ) ) < A )