Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
phlsrng.f |
|- F = ( Scalar ` W ) |
2 |
|
phllmhm.h |
|- ., = ( .i ` W ) |
3 |
|
phllmhm.v |
|- V = ( Base ` W ) |
4 |
|
ipcj.i |
|- .* = ( *r ` F ) |
5 |
|
eqid |
|- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W ) |
6 |
|
eqid |
|- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F ) |
7 |
3 1 2 5 4 6
|
isphl |
|- ( W e. PreHil <-> ( W e. LVec /\ F e. *Ring /\ A. x e. V ( ( y e. V |-> ( y ., x ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) /\ ( ( x ., x ) = ( 0g ` F ) -> x = ( 0g ` W ) ) /\ A. y e. V ( .* ` ( x ., y ) ) = ( y ., x ) ) ) ) |
8 |
7
|
simp3bi |
|- ( W e. PreHil -> A. x e. V ( ( y e. V |-> ( y ., x ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) /\ ( ( x ., x ) = ( 0g ` F ) -> x = ( 0g ` W ) ) /\ A. y e. V ( .* ` ( x ., y ) ) = ( y ., x ) ) ) |
9 |
|
simp3 |
|- ( ( ( y e. V |-> ( y ., x ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) /\ ( ( x ., x ) = ( 0g ` F ) -> x = ( 0g ` W ) ) /\ A. y e. V ( .* ` ( x ., y ) ) = ( y ., x ) ) -> A. y e. V ( .* ` ( x ., y ) ) = ( y ., x ) ) |
10 |
9
|
ralimi |
|- ( A. x e. V ( ( y e. V |-> ( y ., x ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) /\ ( ( x ., x ) = ( 0g ` F ) -> x = ( 0g ` W ) ) /\ A. y e. V ( .* ` ( x ., y ) ) = ( y ., x ) ) -> A. x e. V A. y e. V ( .* ` ( x ., y ) ) = ( y ., x ) ) |
11 |
8 10
|
syl |
|- ( W e. PreHil -> A. x e. V A. y e. V ( .* ` ( x ., y ) ) = ( y ., x ) ) |
12 |
|
fvoveq1 |
|- ( x = A -> ( .* ` ( x ., y ) ) = ( .* ` ( A ., y ) ) ) |
13 |
|
oveq2 |
|- ( x = A -> ( y ., x ) = ( y ., A ) ) |
14 |
12 13
|
eqeq12d |
|- ( x = A -> ( ( .* ` ( x ., y ) ) = ( y ., x ) <-> ( .* ` ( A ., y ) ) = ( y ., A ) ) ) |
15 |
|
oveq2 |
|- ( y = B -> ( A ., y ) = ( A ., B ) ) |
16 |
15
|
fveq2d |
|- ( y = B -> ( .* ` ( A ., y ) ) = ( .* ` ( A ., B ) ) ) |
17 |
|
oveq1 |
|- ( y = B -> ( y ., A ) = ( B ., A ) ) |
18 |
16 17
|
eqeq12d |
|- ( y = B -> ( ( .* ` ( A ., y ) ) = ( y ., A ) <-> ( .* ` ( A ., B ) ) = ( B ., A ) ) ) |
19 |
14 18
|
rspc2v |
|- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A. x e. V A. y e. V ( .* ` ( x ., y ) ) = ( y ., x ) -> ( .* ` ( A ., B ) ) = ( B ., A ) ) ) |
20 |
11 19
|
syl5com |
|- ( W e. PreHil -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( .* ` ( A ., B ) ) = ( B ., A ) ) ) |
21 |
20
|
3impib |
|- ( ( W e. PreHil /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( .* ` ( A ., B ) ) = ( B ., A ) ) |