Theorem isacn

Description: The property of being a choice set of length A . (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015)

	Ref	Expression
Assertion	isacn	|- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC_ A <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq	|- ( y = X -> ~P y = ~P X )
2	1	difeq1d	|- ( y = X -> ( ~P y \ { (/) } ) = ( ~P X \ { (/) } ) )
3	2	oveq1d	|- ( y = X -> ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) = ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) )
4	3	raleqdv	|- ( y = X -> ( A. f e. ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
5	4	anbi2d	|- ( y = X -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
6		df-acn	|- AC_ A = { y | ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P y \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) }
7	5 6	elab2g	|- ( X e. V -> ( X e. AC_ A <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
8		elex	|- ( A e. W -> A e. _V )
9		biid	|- ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
10	9	baib	|- ( A e. _V -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
11	8 10	syl	|- ( A e. W -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
12	7 11	sylan9bb	|- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC_ A <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )