Theorem isasslaw

Description: The predicate "is an associative operation". (Contributed by FL, 1-Nov-2009) (Revised by AV, 13-Jan-2020)

	Ref	Expression
Assertion	isasslaw	|- ( ( .o. e. V /\ M e. W ) -> ( .o. assLaw M <-> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr	|- ( ( o = .o. /\ m = M ) -> m = M )
2		id	|- ( o = .o. -> o = .o. )
3		oveq	|- ( o = .o. -> ( x o y ) = ( x .o. y ) )
4		eqidd	|- ( o = .o. -> z = z )
5	2 3 4	oveq123d	|- ( o = .o. -> ( ( x o y ) o z ) = ( ( x .o. y ) .o. z ) )
6		eqidd	|- ( o = .o. -> x = x )
7		oveq	|- ( o = .o. -> ( y o z ) = ( y .o. z ) )
8	2 6 7	oveq123d	|- ( o = .o. -> ( x o ( y o z ) ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
9	5 8	eqeq12d	|- ( o = .o. -> ( ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) <-> ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
10	9	adantr	|- ( ( o = .o. /\ m = M ) -> ( ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) <-> ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
11	1 10	raleqbidv	|- ( ( o = .o. /\ m = M ) -> ( A. z e. m ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) <-> A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
12	1 11	raleqbidv	|- ( ( o = .o. /\ m = M ) -> ( A. y e. m A. z e. m ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) <-> A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
13	1 12	raleqbidv	|- ( ( o = .o. /\ m = M ) -> ( A. x e. m A. y e. m A. z e. m ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) <-> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
14		df-asslaw	|- assLaw = { <. o , m >. | A. x e. m A. y e. m A. z e. m ( ( x o y ) o z ) = ( x o ( y o z ) ) }
15	13 14	brabga	|- ( ( .o. e. V /\ M e. W ) -> ( .o. assLaw M <-> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )