Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isfne.1 |
|- X = U. A |
2 |
|
isfne.2 |
|- Y = U. B |
3 |
1 2
|
isfne4 |
|- ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) ) |
4 |
|
dfss3 |
|- ( A C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. A x e. ( topGen ` B ) ) |
5 |
|
eltg2b |
|- ( B e. C -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) |
6 |
5
|
ralbidv |
|- ( B e. C -> ( A. x e. A x e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) |
7 |
4 6
|
syl5bb |
|- ( B e. C -> ( A C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. A A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) |
8 |
7
|
anbi2d |
|- ( B e. C -> ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) <-> ( X = Y /\ A. x e. A A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) ) |
9 |
3 8
|
syl5bb |
|- ( B e. C -> ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A. x e. A A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) ) ) |