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Theorem isfne4

Description: The predicate " B is finer than A " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015)

Ref Expression
Hypotheses isfne.1
|- X = U. A
isfne.2
|- Y = U. B
Assertion isfne4
|- ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isfne.1
 |-  X = U. A
2 isfne.2
 |-  Y = U. B
3 fnerel
 |-  Rel Fne
4 3 brrelex2i
 |-  ( A Fne B -> B e. _V )
5 simpl
 |-  ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> X = Y )
6 5 1 2 3eqtr3g
 |-  ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> U. A = U. B )
7 fvex
 |-  ( topGen ` B ) e. _V
8 7 ssex
 |-  ( A C_ ( topGen ` B ) -> A e. _V )
9 8 adantl
 |-  ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> A e. _V )
10 9 uniexd
 |-  ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> U. A e. _V )
11 6 10 eqeltrrd
 |-  ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> U. B e. _V )
12 uniexb
 |-  ( B e. _V <-> U. B e. _V )
13 11 12 sylibr
 |-  ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> B e. _V )
14 1 2 isfne
 |-  ( B e. _V -> ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) ) )
15 dfss3
 |-  ( A C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. A x e. ( topGen ` B ) )
16 eltg
 |-  ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
17 16 ralbidv
 |-  ( B e. _V -> ( A. x e. A x e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
18 15 17 syl5bb
 |-  ( B e. _V -> ( A C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
19 18 anbi2d
 |-  ( B e. _V -> ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) <-> ( X = Y /\ A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) ) )
20 14 19 bitr4d
 |-  ( B e. _V -> ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) ) )
21 4 13 20 pm5.21nii
 |-  ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) )