Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isfne.1 |
|- X = U. A |
2 |
|
isfne.2 |
|- Y = U. B |
3 |
|
fnerel |
|- Rel Fne |
4 |
3
|
brrelex2i |
|- ( A Fne B -> B e. _V ) |
5 |
|
simpl |
|- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> X = Y ) |
6 |
5 1 2
|
3eqtr3g |
|- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> U. A = U. B ) |
7 |
|
fvex |
|- ( topGen ` B ) e. _V |
8 |
7
|
ssex |
|- ( A C_ ( topGen ` B ) -> A e. _V ) |
9 |
8
|
adantl |
|- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> A e. _V ) |
10 |
9
|
uniexd |
|- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> U. A e. _V ) |
11 |
6 10
|
eqeltrrd |
|- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> U. B e. _V ) |
12 |
|
uniexb |
|- ( B e. _V <-> U. B e. _V ) |
13 |
11 12
|
sylibr |
|- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> B e. _V ) |
14 |
1 2
|
isfne |
|- ( B e. _V -> ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) ) ) |
15 |
|
dfss3 |
|- ( A C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. A x e. ( topGen ` B ) ) |
16 |
|
eltg |
|- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) ) |
17 |
16
|
ralbidv |
|- ( B e. _V -> ( A. x e. A x e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) ) |
18 |
15 17
|
syl5bb |
|- ( B e. _V -> ( A C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) ) |
19 |
18
|
anbi2d |
|- ( B e. _V -> ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) <-> ( X = Y /\ A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) ) ) |
20 |
14 19
|
bitr4d |
|- ( B e. _V -> ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) ) ) |
21 |
4 13 20
|
pm5.21nii |
|- ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) ) |