Theorem iuneq12daf

Description: Equality deduction for indexed union, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2017)

	Ref	Expression
Hypotheses	iuneq12daf.1	|- F/ x ph
	iuneq12daf.2	|- F/_ x A
	iuneq12daf.3	|- F/_ x B
	iuneq12daf.4	|- ( ph -> A = B )
	iuneq12daf.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C = D )
Assertion	iuneq12daf	|- ( ph -> U_ x e. A C = U_ x e. B D )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq12daf.1	|- F/ x ph
2		iuneq12daf.2	|- F/_ x A
3		iuneq12daf.3	|- F/_ x B
4		iuneq12daf.4	|- ( ph -> A = B )
5		iuneq12daf.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C = D )
6	5	eleq2d	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y e. C <-> y e. D ) )
7	1 6	rexbida	|- ( ph -> ( E. x e. A y e. C <-> E. x e. A y e. D ) )
8	2 3	rexeqf	|- ( A = B -> ( E. x e. A y e. D <-> E. x e. B y e. D ) )
9	4 8	syl	|- ( ph -> ( E. x e. A y e. D <-> E. x e. B y e. D ) )
10	7 9	bitrd	|- ( ph -> ( E. x e. A y e. C <-> E. x e. B y e. D ) )
11	10	alrimiv	|- ( ph -> A. y ( E. x e. A y e. C <-> E. x e. B y e. D ) )
12		abbi1	|- ( A. y ( E. x e. A y e. C <-> E. x e. B y e. D ) -> { y | E. x e. A y e. C } = { y | E. x e. B y e. D } )
13		df-iun	|- U_ x e. A C = { y | E. x e. A y e. C }
14		df-iun	|- U_ x e. B D = { y | E. x e. B y e. D }
15	12 13 14	3eqtr4g	|- ( A. y ( E. x e. A y e. C <-> E. x e. B y e. D ) -> U_ x e. A C = U_ x e. B D )
16	11 15	syl	|- ( ph -> U_ x e. A C = U_ x e. B D )