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Theorem jath

Description: Closed form of ja . Proved using the completeness script. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 13-Dec-2021)

Ref Expression
Assertion jath 
|- ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 jcn 
 |-  ( -. ph -> ( -. ch -> -. ( -. ph -> ch ) ) )
2 pm2.21 
 |-  ( -. ( -. ph -> ch ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
3 imim2 
 |-  ( ( -. ( -. ph -> ch ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ch -> -. ( -. ph -> ch ) ) -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
4 2 3 ax-mp 
 |-  ( ( -. ch -> -. ( -. ph -> ch ) ) -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
5 imim2 
 |-  ( ( ( -. ch -> -. ( -. ph -> ch ) ) -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ( -. ch -> -. ( -. ph -> ch ) ) ) -> ( -. ph -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) ) )
6 4 5 ax-mp 
 |-  ( ( -. ph -> ( -. ch -> -. ( -. ph -> ch ) ) ) -> ( -. ph -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
7 1 6 ax-mp 
 |-  ( -. ph -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
8 ax-1 
 |-  ( ch -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) )
9 ax-1 
 |-  ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) )
10 imim2 
 |-  ( ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( ( ch -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) -> ( ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
11 9 10 ax-mp 
 |-  ( ( ch -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) -> ( ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
12 8 11 ax-mp 
 |-  ( ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) )
13 ax-1 
 |-  ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
14 imim2 
 |-  ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
15 13 14 ax-mp 
 |-  ( ( ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
16 12 15 ax-mp 
 |-  ( ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
17 pm2.61 
 |-  ( ( ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
18 16 17 ax-mp 
 |-  ( ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
19 imim2 
 |-  ( ( ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) -> ( -. ph -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
20 18 19 ax-mp 
 |-  ( ( -. ph -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) -> ( -. ph -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
21 7 20 ax-mp 
 |-  ( -. ph -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
22 jcn 
 |-  ( ph -> ( -. ps -> -. ( ph -> ps ) ) )
23 pm2.21 
 |-  ( -. ( ph -> ps ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) )
24 imim2 
 |-  ( ( -. ( ph -> ps ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) -> ( ( -. ps -> -. ( ph -> ps ) ) -> ( -. ps -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
25 23 24 ax-mp 
 |-  ( ( -. ps -> -. ( ph -> ps ) ) -> ( -. ps -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) )
26 imim2 
 |-  ( ( ( -. ps -> -. ( ph -> ps ) ) -> ( -. ps -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ( -. ps -> -. ( ph -> ps ) ) ) -> ( ph -> ( -. ps -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
27 25 26 ax-mp 
 |-  ( ( ph -> ( -. ps -> -. ( ph -> ps ) ) ) -> ( ph -> ( -. ps -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
28 22 27 ax-mp 
 |-  ( ph -> ( -. ps -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) )
29 imim2 
 |-  ( ( ( ( ph -> ps ) -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( ( -. ps -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) -> ( -. ps -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
30 9 29 ax-mp 
 |-  ( ( -. ps -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) -> ( -. ps -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
31 imim2 
 |-  ( ( ( -. ps -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) -> ( -. ps -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( -. ps -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( ph -> ( -. ps -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
32 30 31 ax-mp 
 |-  ( ( ph -> ( -. ps -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( ph -> ( -. ps -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
33 28 32 ax-mp 
 |-  ( ph -> ( -. ps -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
34 imim2 
 |-  ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ps -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( -. ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
35 13 34 ax-mp 
 |-  ( ( -. ps -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( -. ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
36 imim2 
 |-  ( ( ( -. ps -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( -. ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( -. ps -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ph -> ( -. ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) ) )
37 35 36 ax-mp 
 |-  ( ( ph -> ( -. ps -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ph -> ( -. ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
38 33 37 ax-mp 
 |-  ( ph -> ( -. ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
39 jcn 
 |-  ( ps -> ( -. ch -> -. ( ps -> ch ) ) )
40 pm2.21 
 |-  ( -. ( ps -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) )
41 imim2 
 |-  ( ( -. ( ps -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( ( -. ch -> -. ( ps -> ch ) ) -> ( -. ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
42 40 41 ax-mp 
 |-  ( ( -. ch -> -. ( ps -> ch ) ) -> ( -. ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
43 imim2 
 |-  ( ( ( -. ch -> -. ( ps -> ch ) ) -> ( -. ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( ps -> ( -. ch -> -. ( ps -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( -. ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
44 42 43 ax-mp 
 |-  ( ( ps -> ( -. ch -> -. ( ps -> ch ) ) ) -> ( ps -> ( -. ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
45 39 44 ax-mp 
 |-  ( ps -> ( -. ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
46 imim2 
 |-  ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
47 13 46 ax-mp 
 |-  ( ( -. ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
48 imim2 
 |-  ( ( ( -. ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) -> ( ( ps -> ( -. ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ps -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) ) )
49 47 48 ax-mp 
 |-  ( ( ps -> ( -. ch -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ps -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
50 45 49 ax-mp 
 |-  ( ps -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
51 imim2 
 |-  ( ( ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( ps -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) -> ( ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
52 18 51 ax-mp 
 |-  ( ( ps -> ( -. ch -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) -> ( ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
53 50 52 ax-mp 
 |-  ( ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
54 pm2.61 
 |-  ( ( ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
55 53 54 ax-mp 
 |-  ( ( -. ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
56 imim2 
 |-  ( ( ( -. ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( ph -> ( -. ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) )
57 55 56 ax-mp 
 |-  ( ( ph -> ( -. ps -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
58 38 57 ax-mp 
 |-  ( ph -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
59 pm2.61 
 |-  ( ( ph -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) )
60 58 59 ax-mp 
 |-  ( ( -. ph -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) ) -> ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) ) )
61 21 60 ax-mp 
 |-  ( ( -. ph -> ch ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ( ph -> ps ) -> ch ) ) )