Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lautcnv.i |
|- I = ( LAut ` K ) |
2 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
3 |
2 1
|
laut1o |
|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) ) |
4 |
|
f1ocnv |
|- ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> `' F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) ) |
5 |
3 4
|
syl |
|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> `' F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) ) |
6 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
7 |
2 6 1
|
lautcnvle |
|- ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( le ` K ) y <-> ( `' F ` x ) ( le ` K ) ( `' F ` y ) ) ) |
8 |
7
|
ralrimivva |
|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( `' F ` x ) ( le ` K ) ( `' F ` y ) ) ) |
9 |
2 6 1
|
islaut |
|- ( K e. V -> ( `' F e. I <-> ( `' F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( `' F ` x ) ( le ` K ) ( `' F ` y ) ) ) ) ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> ( `' F e. I <-> ( `' F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( `' F ` x ) ( le ` K ) ( `' F ` y ) ) ) ) ) |
11 |
5 8 10
|
mpbir2and |
|- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> `' F e. I ) |