Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3anass |
|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) <-> ( A e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) ) |
2 |
1
|
biimpri |
|- ( ( A e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) -> ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) ) |
3 |
2
|
3adant2 |
|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) -> ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) ) |
4 |
|
lgsmod |
|- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( A /L N ) ) |
5 |
3 4
|
syl |
|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( A /L N ) ) |
6 |
|
oveq1 |
|- ( ( A mod N ) = ( B mod N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( ( B mod N ) /L N ) ) |
7 |
5 6
|
sylan9req |
|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> ( A /L N ) = ( ( B mod N ) /L N ) ) |
8 |
|
3anass |
|- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) <-> ( B e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) ) |
9 |
8
|
biimpri |
|- ( ( B e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) -> ( B e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) ) |
10 |
9
|
3adant1 |
|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) -> ( B e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) ) |
11 |
|
lgsmod |
|- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( B mod N ) /L N ) = ( B /L N ) ) |
12 |
10 11
|
syl |
|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) -> ( ( B mod N ) /L N ) = ( B /L N ) ) |
13 |
12
|
adantr |
|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> ( ( B mod N ) /L N ) = ( B /L N ) ) |
14 |
7 13
|
eqtrd |
|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> ( A /L N ) = ( B /L N ) ) |
15 |
14
|
ex |
|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ ( N e. NN /\ -. 2 || N ) ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) -> ( A /L N ) = ( B /L N ) ) ) |