Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lsmfval.v |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
lsmfval.a |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
lsmfval.s |
|- .(+) = ( LSSum ` G ) |
4 |
|
eqid |
|- ( X .+ Y ) = ( X .+ Y ) |
5 |
|
rspceov |
|- ( ( X e. T /\ Y e. U /\ ( X .+ Y ) = ( X .+ Y ) ) -> E. x e. T E. y e. U ( X .+ Y ) = ( x .+ y ) ) |
6 |
4 5
|
mp3an3 |
|- ( ( X e. T /\ Y e. U ) -> E. x e. T E. y e. U ( X .+ Y ) = ( x .+ y ) ) |
7 |
1 2 3
|
lsmelvalx |
|- ( ( G e. V /\ T C_ B /\ U C_ B ) -> ( ( X .+ Y ) e. ( T .(+) U ) <-> E. x e. T E. y e. U ( X .+ Y ) = ( x .+ y ) ) ) |
8 |
7
|
biimpar |
|- ( ( ( G e. V /\ T C_ B /\ U C_ B ) /\ E. x e. T E. y e. U ( X .+ Y ) = ( x .+ y ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( T .(+) U ) ) |
9 |
6 8
|
sylan2 |
|- ( ( ( G e. V /\ T C_ B /\ U C_ B ) /\ ( X e. T /\ Y e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( T .(+) U ) ) |