Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lubprop.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
lubprop.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
lubprop.u |
|- U = ( lub ` K ) |
4 |
|
lubprop.k |
|- ( ph -> K e. V ) |
5 |
|
lubprop.s |
|- ( ph -> S e. dom U ) |
6 |
|
biid |
|- ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) |
7 |
1 2 3 4 5
|
lubelss |
|- ( ph -> S C_ B ) |
8 |
1 2 3 6 4 7
|
lubval |
|- ( ph -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) ) |
9 |
8
|
eqcomd |
|- ( ph -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) |
10 |
1 3 4 5
|
lubcl |
|- ( ph -> ( U ` S ) e. B ) |
11 |
1 2 3 6 4 5
|
lubeu |
|- ( ph -> E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) |
12 |
|
breq2 |
|- ( x = ( U ` S ) -> ( y .<_ x <-> y .<_ ( U ` S ) ) ) |
13 |
12
|
ralbidv |
|- ( x = ( U ` S ) -> ( A. y e. S y .<_ x <-> A. y e. S y .<_ ( U ` S ) ) ) |
14 |
|
breq1 |
|- ( x = ( U ` S ) -> ( x .<_ z <-> ( U ` S ) .<_ z ) ) |
15 |
14
|
imbi2d |
|- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) ) |
16 |
15
|
ralbidv |
|- ( x = ( U ` S ) -> ( A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) ) |
17 |
13 16
|
anbi12d |
|- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) ) ) |
18 |
17
|
riota2 |
|- ( ( ( U ` S ) e. B /\ E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) ) |
19 |
10 11 18
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) ) |
20 |
9 19
|
mpbird |
|- ( ph -> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) ) |