Theorem mnu0eld

Description: A nonempty minimal universe contains the empty set. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	mnu0eld.1	|- M = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) }
	mnu0eld.2	|- ( ph -> U e. M )
	mnu0eld.3	|- ( ph -> A e. U )
Assertion	mnu0eld	|- ( ph -> (/) e. U )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnu0eld.1	|- M = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) }
2		mnu0eld.2	|- ( ph -> U e. M )
3		mnu0eld.3	|- ( ph -> A e. U )
4		0ss	|- (/) C_ A
5	4	a1i	|- ( ph -> (/) C_ A )
6	1 2 3 5	mnussd	|- ( ph -> (/) e. U )