Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pinn |
|- ( A e. N. -> A e. _om ) |
2 |
|
pinn |
|- ( B e. N. -> B e. _om ) |
3 |
|
nnmcom |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) |
4 |
1 2 3
|
syl2an |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) |
5 |
|
mulpiord |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) ) |
6 |
|
mulpiord |
|- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) ) |
7 |
6
|
ancoms |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B .N A ) = ( B .o A ) ) |
8 |
4 5 7
|
3eqtr4d |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) ) |
9 |
|
dmmulpi |
|- dom .N = ( N. X. N. ) |
10 |
9
|
ndmovcom |
|- ( -. ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( B .N A ) ) |
11 |
8 10
|
pm2.61i |
|- ( A .N B ) = ( B .N A ) |