Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pinn |
|- ( A e. N. -> A e. _om ) |
2 |
|
pinn |
|- ( B e. N. -> B e. _om ) |
3 |
|
pinn |
|- ( C e. N. -> C e. _om ) |
4 |
|
nnmass |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) |
5 |
1 2 3 4
|
syl3an |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) |
6 |
|
mulclpi |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. ) |
7 |
|
mulpiord |
|- ( ( ( A .N B ) e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N B ) .o C ) ) |
8 |
6 7
|
sylan |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .N B ) .o C ) ) |
9 |
|
mulpiord |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) ) |
10 |
9
|
oveq1d |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) .o C ) = ( ( A .o B ) .o C ) ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .o C ) = ( ( A .o B ) .o C ) ) |
12 |
8 11
|
eqtrd |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .o B ) .o C ) ) |
13 |
12
|
3impa |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( ( A .o B ) .o C ) ) |
14 |
|
mulclpi |
|- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) e. N. ) |
15 |
|
mulpiord |
|- ( ( A e. N. /\ ( B .N C ) e. N. ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .N C ) ) ) |
16 |
14 15
|
sylan2 |
|- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .N C ) ) ) |
17 |
|
mulpiord |
|- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) = ( B .o C ) ) |
18 |
17
|
oveq2d |
|- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) |
19 |
18
|
adantl |
|- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .o ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) |
20 |
16 19
|
eqtrd |
|- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) |
21 |
20
|
3impb |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B .N C ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) |
22 |
5 13 21
|
3eqtr4d |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( A .N ( B .N C ) ) ) |
23 |
|
dmmulpi |
|- dom .N = ( N. X. N. ) |
24 |
|
0npi |
|- -. (/) e. N. |
25 |
23 24
|
ndmovass |
|- ( -. ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) .N C ) = ( A .N ( B .N C ) ) ) |
26 |
22 25
|
pm2.61i |
|- ( ( A .N B ) .N C ) = ( A .N ( B .N C ) ) |