Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulpiord |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) ) |
2 |
|
pinn |
|- ( A e. N. -> A e. _om ) |
3 |
|
pinn |
|- ( B e. N. -> B e. _om ) |
4 |
|
nnmcl |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A .o B ) e. _om ) |
5 |
2 3 4
|
syl2an |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) e. _om ) |
6 |
|
elni2 |
|- ( B e. N. <-> ( B e. _om /\ (/) e. B ) ) |
7 |
6
|
simprbi |
|- ( B e. N. -> (/) e. B ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (/) e. B ) |
9 |
3
|
adantl |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> B e. _om ) |
10 |
2
|
adantr |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> A e. _om ) |
11 |
|
elni2 |
|- ( A e. N. <-> ( A e. _om /\ (/) e. A ) ) |
12 |
11
|
simprbi |
|- ( A e. N. -> (/) e. A ) |
13 |
12
|
adantr |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (/) e. A ) |
14 |
|
nnmordi |
|- ( ( ( B e. _om /\ A e. _om ) /\ (/) e. A ) -> ( (/) e. B -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) ) ) |
15 |
9 10 13 14
|
syl21anc |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( (/) e. B -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) ) ) |
16 |
8 15
|
mpd |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o (/) ) e. ( A .o B ) ) |
17 |
16
|
ne0d |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) =/= (/) ) |
18 |
|
elni |
|- ( ( A .o B ) e. N. <-> ( ( A .o B ) e. _om /\ ( A .o B ) =/= (/) ) ) |
19 |
5 17 18
|
sylanbrc |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .o B ) e. N. ) |
20 |
1 19
|
eqeltrd |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. ) |