Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq2 |
|- ( x = B -> ( A .o x ) = ( A .o B ) ) |
2 |
1
|
eleq1d |
|- ( x = B -> ( ( A .o x ) e. _om <-> ( A .o B ) e. _om ) ) |
3 |
2
|
imbi2d |
|- ( x = B -> ( ( A e. _om -> ( A .o x ) e. _om ) <-> ( A e. _om -> ( A .o B ) e. _om ) ) ) |
4 |
|
oveq2 |
|- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) ) |
5 |
4
|
eleq1d |
|- ( x = (/) -> ( ( A .o x ) e. _om <-> ( A .o (/) ) e. _om ) ) |
6 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) ) |
7 |
6
|
eleq1d |
|- ( x = y -> ( ( A .o x ) e. _om <-> ( A .o y ) e. _om ) ) |
8 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) ) |
9 |
8
|
eleq1d |
|- ( x = suc y -> ( ( A .o x ) e. _om <-> ( A .o suc y ) e. _om ) ) |
10 |
|
nnm0 |
|- ( A e. _om -> ( A .o (/) ) = (/) ) |
11 |
|
peano1 |
|- (/) e. _om |
12 |
10 11
|
eqeltrdi |
|- ( A e. _om -> ( A .o (/) ) e. _om ) |
13 |
|
nnacl |
|- ( ( ( A .o y ) e. _om /\ A e. _om ) -> ( ( A .o y ) +o A ) e. _om ) |
14 |
13
|
expcom |
|- ( A e. _om -> ( ( A .o y ) e. _om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. _om ) ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( A .o y ) e. _om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. _om ) ) |
16 |
|
nnmsuc |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) ) |
17 |
16
|
eleq1d |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( A .o suc y ) e. _om <-> ( ( A .o y ) +o A ) e. _om ) ) |
18 |
15 17
|
sylibrd |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( A .o y ) e. _om -> ( A .o suc y ) e. _om ) ) |
19 |
18
|
expcom |
|- ( y e. _om -> ( A e. _om -> ( ( A .o y ) e. _om -> ( A .o suc y ) e. _om ) ) ) |
20 |
5 7 9 12 19
|
finds2 |
|- ( x e. _om -> ( A e. _om -> ( A .o x ) e. _om ) ) |
21 |
3 20
|
vtoclga |
|- ( B e. _om -> ( A e. _om -> ( A .o B ) e. _om ) ) |
22 |
21
|
impcom |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A .o B ) e. _om ) |