Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq2 |
|- ( x = B -> ( A ^o x ) = ( A ^o B ) ) |
2 |
1
|
eleq1d |
|- ( x = B -> ( ( A ^o x ) e. _om <-> ( A ^o B ) e. _om ) ) |
3 |
2
|
imbi2d |
|- ( x = B -> ( ( A e. _om -> ( A ^o x ) e. _om ) <-> ( A e. _om -> ( A ^o B ) e. _om ) ) ) |
4 |
|
oveq2 |
|- ( x = (/) -> ( A ^o x ) = ( A ^o (/) ) ) |
5 |
4
|
eleq1d |
|- ( x = (/) -> ( ( A ^o x ) e. _om <-> ( A ^o (/) ) e. _om ) ) |
6 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) ) |
7 |
6
|
eleq1d |
|- ( x = y -> ( ( A ^o x ) e. _om <-> ( A ^o y ) e. _om ) ) |
8 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) ) |
9 |
8
|
eleq1d |
|- ( x = suc y -> ( ( A ^o x ) e. _om <-> ( A ^o suc y ) e. _om ) ) |
10 |
|
nnon |
|- ( A e. _om -> A e. On ) |
11 |
|
oe0 |
|- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o ) |
12 |
10 11
|
syl |
|- ( A e. _om -> ( A ^o (/) ) = 1o ) |
13 |
|
df-1o |
|- 1o = suc (/) |
14 |
|
peano1 |
|- (/) e. _om |
15 |
|
peano2 |
|- ( (/) e. _om -> suc (/) e. _om ) |
16 |
14 15
|
ax-mp |
|- suc (/) e. _om |
17 |
13 16
|
eqeltri |
|- 1o e. _om |
18 |
12 17
|
eqeltrdi |
|- ( A e. _om -> ( A ^o (/) ) e. _om ) |
19 |
|
nnmcl |
|- ( ( ( A ^o y ) e. _om /\ A e. _om ) -> ( ( A ^o y ) .o A ) e. _om ) |
20 |
19
|
expcom |
|- ( A e. _om -> ( ( A ^o y ) e. _om -> ( ( A ^o y ) .o A ) e. _om ) ) |
21 |
20
|
adantr |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( A ^o y ) e. _om -> ( ( A ^o y ) .o A ) e. _om ) ) |
22 |
|
nnesuc |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( A ^o suc y ) = ( ( A ^o y ) .o A ) ) |
23 |
22
|
eleq1d |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( A ^o suc y ) e. _om <-> ( ( A ^o y ) .o A ) e. _om ) ) |
24 |
21 23
|
sylibrd |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( A ^o y ) e. _om -> ( A ^o suc y ) e. _om ) ) |
25 |
24
|
expcom |
|- ( y e. _om -> ( A e. _om -> ( ( A ^o y ) e. _om -> ( A ^o suc y ) e. _om ) ) ) |
26 |
5 7 9 18 25
|
finds2 |
|- ( x e. _om -> ( A e. _om -> ( A ^o x ) e. _om ) ) |
27 |
3 26
|
vtoclga |
|- ( B e. _om -> ( A e. _om -> ( A ^o B ) e. _om ) ) |
28 |
27
|
impcom |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A ^o B ) e. _om ) |