Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elnn |
|- ( ( A e. B /\ B e. _om ) -> A e. _om ) |
2 |
1
|
expcom |
|- ( B e. _om -> ( A e. B -> A e. _om ) ) |
3 |
|
eleq2 |
|- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) ) |
4 |
|
oveq2 |
|- ( x = B -> ( C .o x ) = ( C .o B ) ) |
5 |
4
|
eleq2d |
|- ( x = B -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
6 |
3 5
|
imbi12d |
|- ( x = B -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) |
7 |
6
|
imbi2d |
|- ( x = B -> ( ( ( ( A e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) <-> ( ( ( A e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) |
8 |
|
eleq2 |
|- ( x = (/) -> ( A e. x <-> A e. (/) ) ) |
9 |
|
oveq2 |
|- ( x = (/) -> ( C .o x ) = ( C .o (/) ) ) |
10 |
9
|
eleq2d |
|- ( x = (/) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) |
11 |
8 10
|
imbi12d |
|- ( x = (/) -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) ) |
12 |
|
eleq2 |
|- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) ) |
13 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( C .o x ) = ( C .o y ) ) |
14 |
13
|
eleq2d |
|- ( x = y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) |
15 |
12 14
|
imbi12d |
|- ( x = y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) |
16 |
|
eleq2 |
|- ( x = suc y -> ( A e. x <-> A e. suc y ) ) |
17 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( C .o x ) = ( C .o suc y ) ) |
18 |
17
|
eleq2d |
|- ( x = suc y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) |
19 |
16 18
|
imbi12d |
|- ( x = suc y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) |
20 |
|
noel |
|- -. A e. (/) |
21 |
20
|
pm2.21i |
|- ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) |
22 |
21
|
a1i |
|- ( ( ( A e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) |
23 |
|
elsuci |
|- ( A e. suc y -> ( A e. y \/ A = y ) ) |
24 |
|
nnmcl |
|- ( ( C e. _om /\ y e. _om ) -> ( C .o y ) e. _om ) |
25 |
|
simpl |
|- ( ( C e. _om /\ y e. _om ) -> C e. _om ) |
26 |
24 25
|
jca |
|- ( ( C e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) ) |
27 |
|
nnaword1 |
|- ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) -> ( C .o y ) C_ ( ( C .o y ) +o C ) ) |
28 |
27
|
sseld |
|- ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
29 |
28
|
imim2d |
|- ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) ) |
30 |
29
|
imp |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
31 |
30
|
adantrl |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
32 |
|
nna0 |
|- ( ( C .o y ) e. _om -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) ) |
33 |
32
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) ) |
34 |
|
nnaordi |
|- ( ( C e. _om /\ ( C .o y ) e. _om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
35 |
34
|
ancoms |
|- ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
36 |
35
|
imp |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) |
37 |
33 36
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) |
38 |
|
oveq2 |
|- ( A = y -> ( C .o A ) = ( C .o y ) ) |
39 |
38
|
eleq1d |
|- ( A = y -> ( ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) <-> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
40 |
37 39
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
41 |
40
|
adantrr |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
42 |
31 41
|
jaod |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. _om /\ C e. _om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
43 |
26 42
|
sylan |
|- ( ( ( C e. _om /\ y e. _om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
44 |
23 43
|
syl5 |
|- ( ( ( C e. _om /\ y e. _om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
45 |
|
nnmsuc |
|- ( ( C e. _om /\ y e. _om ) -> ( C .o suc y ) = ( ( C .o y ) +o C ) ) |
46 |
45
|
eleq2d |
|- ( ( C e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
47 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( C e. _om /\ y e. _om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
48 |
44 47
|
sylibrd |
|- ( ( ( C e. _om /\ y e. _om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) |
49 |
48
|
exp43 |
|- ( C e. _om -> ( y e. _om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) ) |
50 |
49
|
com12 |
|- ( y e. _om -> ( C e. _om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) ) |
51 |
50
|
adantld |
|- ( y e. _om -> ( ( A e. _om /\ C e. _om ) -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) ) |
52 |
51
|
impd |
|- ( y e. _om -> ( ( ( A e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) |
53 |
11 15 19 22 52
|
finds2 |
|- ( x e. _om -> ( ( ( A e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) ) |
54 |
7 53
|
vtoclga |
|- ( B e. _om -> ( ( ( A e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) |
55 |
54
|
com23 |
|- ( B e. _om -> ( A e. B -> ( ( ( A e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) |
56 |
55
|
exp4a |
|- ( B e. _om -> ( A e. B -> ( ( A e. _om /\ C e. _om ) -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) |
57 |
56
|
exp4a |
|- ( B e. _om -> ( A e. B -> ( A e. _om -> ( C e. _om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) ) |
58 |
2 57
|
mpdd |
|- ( B e. _om -> ( A e. B -> ( C e. _om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) |
59 |
58
|
com34 |
|- ( B e. _om -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C e. _om -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) |
60 |
59
|
com24 |
|- ( B e. _om -> ( C e. _om -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) |
61 |
60
|
imp31 |
|- ( ( ( B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |