Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nnmordi |
|- ( ( ( B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
2 |
1
|
ex |
|- ( ( B e. _om /\ C e. _om ) -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) |
3 |
2
|
impcomd |
|- ( ( B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
4 |
3
|
3adant1 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
5 |
|
ne0i |
|- ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( C .o B ) =/= (/) ) |
6 |
|
nnm0r |
|- ( B e. _om -> ( (/) .o B ) = (/) ) |
7 |
|
oveq1 |
|- ( C = (/) -> ( C .o B ) = ( (/) .o B ) ) |
8 |
7
|
eqeq1d |
|- ( C = (/) -> ( ( C .o B ) = (/) <-> ( (/) .o B ) = (/) ) ) |
9 |
6 8
|
syl5ibrcom |
|- ( B e. _om -> ( C = (/) -> ( C .o B ) = (/) ) ) |
10 |
9
|
necon3d |
|- ( B e. _om -> ( ( C .o B ) =/= (/) -> C =/= (/) ) ) |
11 |
5 10
|
syl5 |
|- ( B e. _om -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> C =/= (/) ) ) |
13 |
|
nnord |
|- ( C e. _om -> Ord C ) |
14 |
|
ord0eln0 |
|- ( Ord C -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) ) |
15 |
13 14
|
syl |
|- ( C e. _om -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) ) |
16 |
15
|
adantl |
|- ( ( B e. _om /\ C e. _om ) -> ( (/) e. C <-> C =/= (/) ) ) |
17 |
12 16
|
sylibrd |
|- ( ( B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) ) |
18 |
17
|
3adant1 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> (/) e. C ) ) |
19 |
|
oveq2 |
|- ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) ) |
20 |
19
|
a1i |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = B -> ( C .o A ) = ( C .o B ) ) ) |
21 |
|
nnmordi |
|- ( ( ( A e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) |
22 |
21
|
3adantl2 |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A -> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) |
23 |
20 22
|
orim12d |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) -> ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) ) |
24 |
23
|
con3d |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) -> -. ( A = B \/ B e. A ) ) ) |
25 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> C e. _om ) |
26 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> A e. _om ) |
27 |
|
nnmcl |
|- ( ( C e. _om /\ A e. _om ) -> ( C .o A ) e. _om ) |
28 |
25 26 27
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. _om ) |
29 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> B e. _om ) |
30 |
|
nnmcl |
|- ( ( C e. _om /\ B e. _om ) -> ( C .o B ) e. _om ) |
31 |
25 29 30
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. _om ) |
32 |
|
nnord |
|- ( ( C .o A ) e. _om -> Ord ( C .o A ) ) |
33 |
|
nnord |
|- ( ( C .o B ) e. _om -> Ord ( C .o B ) ) |
34 |
|
ordtri2 |
|- ( ( Ord ( C .o A ) /\ Ord ( C .o B ) ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) ) |
35 |
32 33 34
|
syl2an |
|- ( ( ( C .o A ) e. _om /\ ( C .o B ) e. _om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) ) |
36 |
28 31 35
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) <-> -. ( ( C .o A ) = ( C .o B ) \/ ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) ) ) |
37 |
|
nnord |
|- ( A e. _om -> Ord A ) |
38 |
|
nnord |
|- ( B e. _om -> Ord B ) |
39 |
|
ordtri2 |
|- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) ) |
40 |
37 38 39
|
syl2an |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) ) |
41 |
26 29 40
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) ) |
42 |
24 36 41
|
3imtr4d |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) ) |
43 |
42
|
ex |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) ) ) |
44 |
43
|
com23 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( (/) e. C -> A e. B ) ) ) |
45 |
18 44
|
mpdd |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> A e. B ) ) |
46 |
45 18
|
jcad |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o B ) -> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) ) |
47 |
4 46
|
impbid |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |